Zeigen Sie, U1+U2 ist der kleinste Untervektorraum von V .

Question

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Seien V ein Vektorraum über dem Körper K und U1,U2 Untervektoräume von V. Zeigen sie, U1+U2 ist der kleinste Untervektorraum von V, der U1 und U2 enthält, d.h. U1,U2⊆U1U2 und für jeden Untervektorraum W von V, der U1 und U2 enthält, gilt U1+U2⊆W

Man muss ja folgende DInge beweisen:

1.U1+U2 ist ein Unterraum

2.U1+U2 enthält U1 und U2

3.Ist W ein Unterraum von V , der U1 und U2 enthält, so liegt U1+U2 in W.

Bei dem ersten wusste ich wie ich es beweisen musste. Nur 2 und 3 bereiten mir Schwierigkeiten .Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

2.U1+U2 enthält U1 und U2


sei x aus U1, dann ist  x = x + 0 und weil 0 aus U2 ist

jedenfalls   x aus U1 + U2 , also  U1 ⊆   U1 + U2

entsprechend    U2 ⊆   U1 + U2

3.Ist W ein Unterraum von V , der U1 und U2 enthält, so liegt U1+U2 in W.


Sei x aus U1 + U2 , =>   Es gibt a aus U1 und b ais U2 mit x = a+b


Da W sowohl U1 als auch U2 enthält, enthält W sowohl a als auch b


und weil es ein Vektorraum ist, also auch die Summe a+b = x .


=>   x aus W. Also  U1 + U2 ⊆ W.