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Hallo liebe Mathelounger

Ich habe folgenden Aufgabentyp gegeben, weiß aber nicht wie ich da vorgehen soll.

Ich soll bei einer linearen Abbildung angeben, ob sie Eindeutig bestimt ist und dann ob sie Eigenschafen wie injektivität oder surjektivität erfüllt.

Als Beispiel:

lineare Abbildung von ℝ3 → ℝ4

$$ F\quad (\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) )\quad =\quad \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} \right)  $$ ,

$$ F\quad (\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) )\quad =\quad \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \\ 7 \end{matrix} \right)  $$ ,

$$ F\quad (\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) )\quad =\quad \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right)  $$

Danke schonmal

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> ob sie Eindeutig bestimmt ist

Sei v∈ℝ3. Sei G eine lineare Abbildungen von ℝ3 nach ℝ4, die an denen gegebenen  Stellen mit F übereinstimmt. Untersuche G(v) = F(v) ist.

> injektivität

Seien v1, v2 ∈ ℝ3 mit F(v1) = F(v2). Prüfe ob dann v1 = v2 sein muss.

> surjektivität

Sei w ∈ ℝ4. Prüfe ob es dann ein v∈ℝ3 geben muss, so dass F(v) = w ist.

1 Antwort

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(1;0;0)  ( 1;1;0) und (1;1;1) bilden eine Basis von IR3.Also kann jedes v aus IR3 damit eindeutig dargestellt werden,

also ist das Bild eindeutig bestimmt.

surjektiv nicht möglich, da dim IR4 > dim IR3 

Injektiv genau dann, wenn die drei Bildvektoren

lin. abh, sind.


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