Vektoren lineare Abbildung eindeutig bestimmt

Question

Hallo liebe Mathelounger

Ich habe folgenden Aufgabentyp gegeben, weiß aber nicht wie ich da vorgehen soll.

Ich soll bei einer linearen Abbildung angeben, ob sie Eindeutig bestimt ist und dann ob sie Eigenschafen wie injektivität oder surjektivität erfüllt.

Als Beispiel:

lineare Abbildung von ℝ³ → ℝ⁴

$$ F\quad (\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) )\quad =\quad \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} \right)  $$ ,

$$ F\quad (\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) )\quad =\quad \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 3 \\ 7 \end{matrix} \right)  $$ ,

$$ F\quad (\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) )\quad =\quad \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right)  $$

Danke schonmal

Comments

> ob sie Eindeutig bestimmt ist

Sei v∈ℝ³. Sei G eine lineare Abbildungen von ℝ³ nach ℝ⁴, die an denen gegebenen  Stellen mit F übereinstimmt. Untersuche G(v) = F(v) ist.

> injektivität

Seien v₁, v₂ ∈ ℝ³ mit F(v₁) = F(v₂). Prüfe ob dann v₁ = v₂ sein muss.

> surjektivität

Sei w ∈ ℝ⁴. Prüfe ob es dann ein v∈ℝ³ geben muss, so dass F(v) = w ist.

Answer 1

(1;0;0)  ( 1;1;0) und (1;1;1) bilden eine Basis von IR³.Also kann jedes v aus IR³ damit eindeutig dargestellt werden,

also ist das Bild eindeutig bestimmt.

surjektiv nicht möglich, da dim IR⁴ > dim IR³ 

Injektiv genau dann, wenn die drei Bildvektoren

lin. abh, sind.