Ist die lineare Abbildung linear und surjektiv?

Question

Aufgabe:

(b) Gegeben ist die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) durch
\( \left.f\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -3 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) . \)
(1) Ist \( f \) injektiv? Ist \( f \) surjektiv? Begründen Sie Ihre Antworten!
(2) Untersuchen Sie, ob der Vektor \( v=(1,2,3)^{T} \) im Bild von \( f \) liegt.

Problem/Ansatz:

Also ich habe herausgefunden, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist und der Vektor \( v=(1,2,3)^{T} \) im Bild liegt mit \( (1/7,16/7,-2/7)^{T} \). Wollte jetzt nur fragen, ob es mit surjektiv stimmt und ob das mit dem Vektor stimmt. Ich würde mich freuen, wenn ihr eine Begründung abgeben könntet. Danke schonmal im voraus

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante der Matrix ist \(14\), also ungleich \(0\).

Die Abbildung ist daher eindeutig umkehrbar, d.h. bijektiv, also injektiv und surjektiv.

Das Bild der Funktion ist der komplette \(\mathbb R^3\), also liegt auch der Vektor \(\vec v=(1;2;3)^T\) im Bild. Du hast auch die richtigen Koeffizienten für die passende Linearkombination gefunden.