Supremum von e^{1/x} - zeigen, dass es keine grössere untere schranke gibt

Question

g(x)= e^1/x mit x∈(0;∞)
das Infimum, also größte untere Schranke, ist ja bei y=1. Wir müssen bei der Aufgabe noch zeigen, dass es wirklich keine größere untere Schranke gibt. 
Dazu habe ich den Ansatz gewählt: Angenommen es gibt ein a>1 mit g(x)>a für alle x∈(0;∞). Wenn x=1/ln(a) ist gilt g(x)=a, was ja nicht größer als a ist wie in der Annahme (g(x)>a), da wir keine Gleichheit haben.
Das heißt 1 ist tatsächlich die größte untere Schranke.
Stimmt diese Begründung wie oben?

Answer 1

Ich würde es noch etwas abändern:Wäre a > 1 eine untere Schranke, also

angenommen es gibt ein a>1 mit g(x) ≥ a für alle x∈(0;∞).

Hier muss es ≥ heißen (Def. unt. Schranke ! )

Dann ist ln(a) > 0 und damit

ist   x=2/ln(a) immer noch aus  (0;∞).  und

g(2/ln(a))  =  e ^ln(a)/2  = √a  < a   weil a>1 .

also gilt für dieses x      g(x) < a  im Widerspruch zur Annahme a sei

eine untere Schranke.

Das heißt 1 ist tatsächlich die größte untere Schranke.