Cauchy schwarsche Ungleichung integral

Question

Ich hänge bei folgender Aufage.

Habe schon einiges gegoogelt aber nichts gefunden, was ich verstehe oder was auch in unserem Thema spielt.

Der angegeben Tipp hilft mir ebenfalls nicht weiter.. ich könnte eventuell darauf schließen das etwas partiell durchgeführt wurde...?

Kann mir jemand helfen und mir bei einem Ansatz helfen?

Answer 1

Hier ist die Definition eines Skalarproduktes Z.1.2

http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-S…

und hier ist der Beweis der Ungleichung für ein beliebiges Skalarprodukts

https://lp.uni-goettingen.de/get/text/3257

Comments

Ok vielen Dank schonmal, habe es nun angewendet.

Habe ich alles richtig gemacht?

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Ich blick da nicht richtig durch und glaube auch das da was falsch ist. Wenn $(f,g) = \int_a^b f(x) g(x) \ dx$ das Skalarprodukt ist gilt

$$0 \le (f-\lambda g, f - \lambda g ) = (f,f) - 2 \lambda (f,g) + \lambda^2 (g,g)$$ und da $\lambda = \frac{(f,g)}{(g,g)}$ ist folgt

$$0 \le (f,f) - 2 \frac{(f,g)}{(g,g)} (f,g) + \left( \frac{(f,g)}{(g,g)} \right)^2 (g,g) = (f,f) - \frac{(f,g)^2}{(g,g)}$$ und durch Multiplikation mit $(g,g)$ folgt die Bahauptung.

$$(f,g)^2 \le (f,f) (g,g)$$

Den Fall $(g,g) = 0$ muss man separat behandeln ist aber trivial.