Ich blick da nicht richtig durch und glaube auch das da was falsch ist. Wenn \( (f,g) = \int_a^b f(x) g(x) \ dx \) das Skalarprodukt ist gilt
$$ 0 \le (f-\lambda g, f - \lambda g ) = (f,f) - 2 \lambda (f,g) + \lambda^2 (g,g) $$ und da \( \lambda = \frac{(f,g)}{(g,g)} \) ist folgt
$$ 0 \le (f,f) - 2 \frac{(f,g)}{(g,g)} (f,g) + \left( \frac{(f,g)}{(g,g)} \right)^2 (g,g) = (f,f) - \frac{(f,g)^2}{(g,g)} $$ und durch Multiplikation mit \( (g,g) \) folgt die Bahauptung.
$$ (f,g)^2 \le (f,f) (g,g) $$
Den Fall \( (g,g) = 0 \) muss man separat behandeln ist aber trivial.
