Exponentialgleichung: 1250 = 3/8 * 1.6^t + 1.2^t

Question

Wie löse ich :

1250 = 3/8 * 1.6^t +  1.2^t ?

Comments

Keine Klammern?

Beachte, dass das Exponential- und nicht Logarithmusfunktionen sind.

Diese Gleichung müsstest du numerisch lösen (Z.B. Newtonverfahren). Formal geht das nicht. Vgl:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1250+%3D+3%2F8+*+%2816%2F19%29+%5Et+%2B++%2812%2F10%29+%5Et+

resp.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1250+%3D+3%2F8+*+%28%2816%2F19%29+%5Et+%2B++%2812%2F10%29+%5Et+%29

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ja ich hab versucht .....

1250 = 3/8 * ( 1.6^t   +   8/3* 1.2^t)

<=>    1250 = log(3/8) * log(1.6) * t   +   log(3/8)  * log(1.2)  *  t


aber das geht nicht auf

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Doch eine Klammer? Du darfst doch so nicht logarithmieren. Die Gleichung ist mE numerisch zu lösen. (vgl. auch WolframAlpha).

Beachte die erste Zeile bei WolframAlpha, da gibt dir WolframAlpha an, was du formal eingegeben hast.

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keine klammer punkt vor strich .... 3/8 bezieht sich nur auf die 1.6

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Ok. Dann nimm am einfachsten ein numerisches Verfahren.

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t liegt irgendwo zwischen 17,219 und 17,22.

Das wird Dir leider keine allzu große Hilfe sein :-(

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Danke für deine Bemühung @Bruc   ........ hab mittels reglua falsi einen exakten wert bis auf 5 nachkommastellen bekommen , war richtig mit 17,219 ......

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@Element95

Kein Problem, gern geschehen :-)

Answer 1

1250 = 3/8·1.6^t + 1.2^t

Solche Gleichungen löst man numerisch z.B. über das Newtonverfahren. Um das zu machen bringe ich alles auf eine Seite und suche dann Nullstellen.

f(t) = 3/8·1.6^t + 1.2^t - 1250 = 0

damit lautet die Iteration 

t_n+1 = t_n - f(t_n) / f'(t_n)
t_n+1 = t_n - (0.375·1.6^{t_n} + 1.2^{t_n} - 1250) / (0.375·1.6^{t_n}·ln(1.6) + 1.2^{t_n}·ln(1.2))

Über eine Wertetabelle finde ich wohl eine Nullstelle zwischen 17 und 18

Ich starte mal mit t₀ = 17

t₁ = 17.23082477
t₂ = 17.21922369
t₃ = 17.21919209
t₄ = 17.21919209

Wir finden eine Lösung bei etwa 17.21919209