Wie kann ich x^{x^x} aus zwei Funktionen zusammenstellen?

Question

g(x)=x^x,  h(x)=?

f(x)=x^{x^x} = (?°g)(x)

Wie müsste man h(x) definieren?

Mein Ansatz: h(x)=x^x führte zu x^{x^{x^x}}, also das falsche Resultat

Answer 1

f(x) = x^(xx) kann nicht direckt als Verkettung von Funktionen geschreiben werden.

Den Ansatz "Wenn f(x) = g(h(x)) ist, dann ist h(x) = ... und g(x) = ..." finde ich nicht so toll. Er ist zwar mathematisch korrekt, führt aber zur Verwirrung über die Bedeutung des x. Stattdessen:

        dann ist h(x) = ... und g(h) = ...

Aus dem Funktionsterm h(x) wird also ein Variablenname, der mir dem Namen der inneren Funktion übereinstimmt. Bei diesem Ansatz sieht man nämlich, dass

        h(x) = x^x und g(h) = x^h

nicht zum Ziel führt, weil im Funktionsterm von g kein x vorkommen darf. Auch

        h(x) = x^x und g(h) = x^h

führt aus gleichem Grund nicht zum Ziel.Stattdessen

        x^x = e^{ln xx} = e^{x·ln x}.

Analog dazu ist

        x^(xx)v = e^{ln(x(ex·ln x))} = e^{ex·ln x·ln(x)}.

Das kann man aufteilen in g(h(x)) mit h(x) = e^{x·ln x}·ln(x) und g(h) = e^h.