Nilpotente Matrix angeben

Question

Eine Matrix A ∈ Kn×n heißt nilpotent, wenn es ein k ∈ N gibt so dass Ak := A · · · A | {z } k Faktoren = 0 ist.

(a) Geben Sie ein Beispiel fur eine Matrix an, die nilpotent ist aber selbst nicht 0 ist. ¨

(b) Zeigen Sie: Ist A nilpotent, so ist 0 der einzige Eigenwert von A. Hinweis: Zwei Dinge sind zu zeigen: (1) 0 ist ein Eigenwert, und (2) es gibt keine anderen Eigenwerte.

Zu (1): Können nilpotente Matrizen invertierbar sein? Und was kann man uber Eigenwerte von nicht-invertierbaren Matrizen sagen? Zu (2): Wenn v ein Eigenvektor zu einem Eigenwert 6= 0 wäre, was wäre dann Akv?

(c) Zeigen Sie: Ist A ∈ Kn×n nilpotent, so ist In − A invertierbar, und (In − A) −1 = In + A + A2 + · · · + Ak−1 falls Ak = 0.

(d) Prufen Sie die Formel aus (c) an Ihrem Beispiel aus (a).

Comments

Brauche Hilfe oder Ansätze für die Aufgabe 4...:(

 

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Bei b) hast du doch eine ausführlich Anleitung. Was verstehst du nicht?

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Zumindest einen Anfang zu deiner Frage findest du hier: https://www.mathelounge.de/418708/nilpotente-matrizen-invertierter

Answer 1

(a) Geben Sie ein Beispiel fur eine Matrix an, die nilpotent ist aber selbst nicht 0 ist. ¨ 

M=0  0   0 
1  0   0
1  0   0

M² = 0

(b) Zeigen Sie: Ist A nilpotent, so ist 0 der einzige Eigenwert von A. Hinweis: Zwei Dinge sind zu zeigen: (1) 0 ist ein Eigenwert, und (2) es gibt keine anderen Eigenwerte. 

w ist Eigenwert von A <=> Es gibt x ≠ 0 aus IRⁿ mit A*x = w*x

wenn A nilpotent ist, gibt es k mit A^k = 0 also   ist für jedes x  aus IRⁿ  #

Sei also w ein Eigenwert von A und x ≠ 0 aus IRⁿ  und k wie bei #

=>    A*x = w*x 
 =>  A*  A*x =  A *w*x
=>  A²*x =  w*A*x =w*wx = w²*x etc.also A^k*x = w^k*x  also ist w^k ein Eigenwert von A^k, aber wegen A^k = 0

ist w^k = 0   also  w=0 .

Wenn es also einen Eigenwert gibt, dann ist er = 0.

Umgekehrt ist 0 ein Eigenwert; denn anderenfalls wäre Kern(A) = {0} und

damit A regulär.  Dann wäre aber auch A^k regulär im Gegensatz zu A^k=0

Zu (1): Können nilpotente Matrizen invertierbar sein?    nein !
Und was kann man uber Eigenwerte von nicht-invertierbaren Matrizen sagen?  
Haben immer EW 0.

Zu (2): Wenn v ein Eigenvektor zu einem Eigenwert 6= 0 wäre, was wäre dann Akv?  s.0.