Taylorreihe von sinh(x) bestimmen

Question

Hi, die Reihe ist an sich ja in Wikipedia nachzulesen, allerdings frage ich mich ob ich sie folgendermaßen herleiten kann?$$sinh(x)=\frac { 1 }{ 2 } ({ e }^{ x }-{ e }^{ -x })=\quad (\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ n } }{ n! }  } -\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \frac { (-x) }{ n! }  }^{ n })*\frac { 1 }{ 2 }  } =\quad \frac { 1 }{ 2 } (2*\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \frac { x }{ (2n+1)! }  }^{ 2n+1 } } +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ 2n } }{ (2n)! }  } -\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ 2n } }{ (2n)! }  } )\quad =\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }  } \quad $$ ?

Answer 1

sieht doch ganz gut aus. Geht aber auch über die Ableitungen von sinh.