Komplexe Zahlen: Regelmäßiges Fünfeck

Question

ich bekomme Teilaufgabe b) nicht gebacken. Wie krieg ich alle fünf Seiten schön formal abgebildet und die Gleichheit gezeigt? Der Tipp sagt mir irgendwie nichts, außer dass ich dann schreiben kann:

|C^1 - 1| = |C^2 - C^1| = |C^3 - C^2| = |C^4 - C^3| = |C^5 - C^4|

Answer 1

In der Zahlenebene sieht das doch so aus:

wegen z⁵ =1 gilt auch |z|⁵ = 1 also haben alle Potenzen von z den Betrag 1.

Damit wirkt die Multiplikation einer komplexen Zahl mit z wie eine Drehung um den

Winkel  arg(z).  Der ist hier  360° / 5 = 72° .

Also sind die Dreiecke, die immer aus z^k und z^k+1 gebildet werden alle gleichschenklig

mit dem Winkel von 72° an der Spitze und damit kongruent, also alle Basen (die blauen)

gleich lang. Und es gilt für eine halbe Basislänge  s/2 = sin(36°) also s = 2*sin(36°).

Und die Diagonalen sind ja immer die Verbindungslinien von zwei nicht benachbarten

Ecken, also Basen im gleichschenkligen Dreieck mit Schenkellänge 1

und an der Spitze einem Winkel von 2*72° = 144° .

Für eine halbe Diagonale gilt also  d/2 = sin(72°)  also d=2*sin(72°).