Question

Welches Verhältnis muss zwischen a und b bestehen, damit die Gleichung x²+2ax+b=0 genau zwei lösungen besitzt?

Answer 1

Vorbemerkung: Ich setze voraus, dass mit reellen Zahlen (und nicht mit komplexen Zahlen) gearbeitet werden soll.

 

 x ² + 2 a x + b = 0

hat genau dann genau zwei Lösungen, wenn der Term unter der Wurzel der pq-Formel

x1,2 = - ( p / 2 ) +/- √ ( ( p / 2 ) ² - q )

positiv ist. Genau dann nämlich ist auch der Wert der Wurzel positiv und man erhält zwei Lösungen x1 und x2, indem man diesen Wert einmal zu - ( p / 2 ) addiert und einmal von ( - p / 2 ) subtrahiert.

In der vorliegenden Gleichung x ² + 2 a x + b ist p = 2 a und q = b. Setze also unter Berücksichtigung dieser Werte den Term unter der Wurzel größer als Null:

( 2 a / 2 ) ² - b > 0

<=> a ² > b

Also: Genau dann, wenn a ² >  b gilt, hat die Gleichung x ² + 2 a x + b genau zwei Lösungen.

(Anmerkung: Wenn a ² = b gilt, gibt es nur eine Lösung und wenn a ² < b gilt, dann gibt es keine Lösung.)

Answer 2

Hier kann man die Diskriminante  nach Anwendung der pq-Formel betrachten.

Es gibt immer genau dann zwei relle Lösungen´, wenn die Diskriminante größer als Null ist.

Hier dann:

x²+2ax+b= 0     | pq-formel anwenden

x_1,2= -a±√(a²-b)

a²-b > 0      ⇒   a²>b   , dann gibt es zwei Lösungen im rellen Berecih