Beweis: Im Drachenviereck schneiden sich die Diagonalen orthogonal

Question

Wie beweise ich das? Hier ist mein Ansatz:

:)

Answer 1

Du hast an die Vektoren a, b, d keine Pfeilspitzen gemalt (oder

ich kann sie nicht erkennen.). Wenn etwa a und b beide

von links nach rechts zeigen, dann ist die eine

Diagonale in der Tat  a+b.

Aber wenn d von unten nach oben zeigt ist die andere

eben   d - b .

Comments

Wenn ich das so beschrifte ist das doch richtig oder nicht?

---

So passt es.

Aber du musst da noch mehr reinstecken, etwa

dass a+b gleich -c-d ist etc.

---

Ich weiß nicht, wie ich das einbringen und lösen soll. Wie gesagt weiter als im Bild komme ich nicht. Kannst du mir helfen?

---

Ist wohl doch etwas kniffliger (oder mir fällt nichts einfacheres ein):

Wenn du den Schnittpunkt der Diagonalen mit M bezeichnest, dann hast

du die Vektoren

vom M zur rechten Ecke = e

vom M zur linken Ecke = -x*e

(Denn, dass die Diagonale halbiert wird, darfst du ja wohl auch nicht einbringen.)


vom M zur oberen Ecke = f

vom M zur unteren Ecke = -y*f

Dabei sind x und y positiv.

Dann sind die Seitenvektoren

a = xe+f
b= e-f
c=yf-xe
d=-e-yf.

Und wenn a,b und c,d gleichlang sind, dann gilt ja

a*a=b*b  und  c*c=d*d also

x²*e*e +2x*e*f + f*f = e*e - 2*e*f + f*f  und
y²*f*f - 2xy*e*f* + x²*e*e = e*e +2y*e*f*+y²*f*f

kürzer
(x²-1)*e*e +(2x+2)*e*f  = 0  und
(-2xy-2y)*e*f* + (x²-1)*e*e = 0   

und wenn du beide Gleichungen voneinander abziehst

(2x+2)*e*f  + (2xy+2y)*e*f = 0

<=>  (2x+2 +2xy+2y) *e*f = 0

Und weil x und y positiv sind, muss e*f=0

sein.   q.e.d.