Stetigkeit überprüfen mit Betrag

Question

f(x)= x^2-1   für ΙxΙ≥1  und 0 für ΙxΙ<1

ich habe jetzt einfach ganz normal die Stetigkeit in 0 überprüft ohne den Betrag zu berüchsichtigen...was sagt der mit, also wie muss ich beim Lösen einer solchen aufgabe damit umgehen?

Answer 1

die Funktion ist in zwei Abschnitten definiert:

f(x)  =  (   x² - 1   für |x| ≥ 1   also  für  x ∈ ] - ∞ ; -1 ]  ∪ [ 1 ; ∞ [

           (    0          für |x| < 1   also   für  x ∈ ] -1 ; 1 [ 

Außer an den "Nahtstellen"  x = 1  und x = -1 ist die Funktion in den einzelnen Abschnitten stetig.

lim_{x→ -1-}  f(x)  =  lim_{x→ -1-} (x² - 1)  =  0  =  lim_{x→ -1+}  f(x) 

→  lim_{x→ -1}  f(x)   =  0   =  f(-1)   →   f ist stetig in x = - 1 

lim_{x→ 1-}  f(x)  =  0  =  lim_{x→ 1+}  (x² - 1)  =  lim_{x→ 1+}  f(x) 

→  lim_{x→ 1}  f(x)   =  0  =  f(1)  →  f ist stetig in x = 1 

f ist also stetig in ℝ 

Gruß Wolfgang