eigenvektor ohne eigenraum ist das möglich

Question

ich mach gerade die i hab bisher folgendes raus:

Eigenwerte sind: 0,1,-1

Für 0:

Eigenraum=E(0)=span{ (0   1/2.  1)} weil ich hatte raus, dass (0.    x3/2.      x3) rauskommt

algebraische Vielfachheit: 1

geometrische Vielfachheit: 1

Nun für 1:

Komm ich auf den Eigenraaum, dass es der Nullvektor ist, der ist aber nach Definition kein Eigenraum. Gibt es also Eigenvektoren ohne Eigenraum oder hab ich mich verrechnet?

algebraische Vielfachheit: 1

geometrische Vielfachheit: ?

-1 folgt noch

Comments

Hab da für -1 auch den Nullvektor raus :/

Answer 1

um den Eigenraum zum Eigenwert 0 zu finden, löse das LGS

M*v=0

x=0

-x-2y+z=0

-2y+z=0

-------------

-2y+z=0

2y=z

Also v=y*(0,1,2)

Dimension 1

Du hast dich also irgendwo verechnet.

(Der Nullvektor löst auch das Gleichungssystem, bringt hier aber nichst.)

Comments

ich verstehe jetzt nicht meinen Fehler. Mein ergebnis pasts doch für Eigenwert 0

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Mein Problem liegt ja bei Eigenwert 1 und -1

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Achso sry , da hab ich nicht richtig gelesen.

Zum Eigenwert 1:

Mv=v

x=x

-x-2y+z=y

-2y+z=z

------------

-x-3y+z=0

-2y=0

----------

-x+z=0

x=z

v=x*(1,0,1)

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Ich hab ein völlig anderes LGS,

Weil man muss das ja noch von der Einheitsmatrix abziehen

-x=0.          |*(-1) in die zweite Gl

-x-4y+z=0

-2y-z=0

-1 0 0 0

0 -4 1 0

0 -2 -1 0 |*(-2) 2 Gl in 3 Gl

-1 0 0 0

0 -4 1 0

0 0 -3 0

Und dann sind ja alle Vatiablen null

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Der Ansatz ist äquivalent.

Du hast dich aber verrechnet.

Ich geh mal davon aus, dass du (M-1*E)v=0

berechnen wolltest.

Da bekommt man als Ergebnis:

$$  M-E=\begin{pmatrix}  0 & 0&0\\ -1 & -3&1 \\0&-2&0\end{pmatrix}$$

Dann wird es wie in meiner Rechnung.