Stetigkeit einer Funktion beweisen mit Sinus

Question

Hello,

folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie die Funktion f:(-1,1) -> R mit

f(x) = sin(1/x)*x, für x ungleich 0 ODER 1, wenn x=0

in allen x∈(-1,1) auf Stetigkeit.

Meine Argumentation wie folgt:

Setze g(x)=sin(1/x)*x und h(x)=1.

h(x) ist stetig, da 1 konstant ist. Eine Komposition stetiger Funktionen ist stetig, somit ist f(x) steht, wenn gezeigt wurde, dass g(x) stetig ist.

Wie zeige ich nun, dass sin(1/x)*x stetig ist?
Ist meine Argumentation überhaupt korrekt?

LG

Comments

Tipp: \(\left\vert x\cdot\sin\frac1x\right\vert=\vert x\vert\cdot\left\vert\sin\frac1x\right\vert\le\vert x\vert\cdot1=\vert x\vert\to0\), wenn \(x\to0\).

Answer 1

Für x ungleich 0 ist alles aus stetigen Funktionen zusammengesetzt durch

Grundrechenarten oder Verkettung.

Also muss nur bei x=0 extra untersucht werden.

Der Kommentar ziegt:  Für x gegen 0 ist der Grenzwert 0,

aber der definierte Funktionswert ist 1.

Also ist f bei 0 nicht stetig, sonst überall.

Comments

Hallo mathef,

Untersuchen Sie die Funktion f:(-1,1) -> R mit
f(x) = sin(1/x)*x, für x ungleich 0 ODER 1, wenn x=0
in allen x∈(-1,1) auf Stetigkeit.

Ich verstehe schon einmal die Fragestellung nicht

D = ] -1 ; 1 [
f ( x ) = sin ( 1 / x ) * x

sin ( 1 / x  )  * x
Für alle x außer 0 gilt
sin ( 1 / x  ) liegt zwischen ( -1 .. 1 ) * x
lim x −> 0 [ ( -1 .. 1 ) * x ] = 0

für x = 0 hat die Funktion eine Lücke.
Wo kommt der Funktionswert
f ( 0 ) = 1
her ?

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Die Zeile

f(x) = sin(1/x)*x, für x ungleich 0 ODER 1, wenn x=0


verstehe ich so:

f(x) = sin(1/x)*x, für x ungleich 0
f(x) = 1       wenn x=0 .

D.h. der Lückenwert ist bewusst "falsch" festgelegt,

damit f bei 0 nicht stetig ist.

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Ich nehme an deine Interpretation des Fragetextes
ist richtig.