Betrachten Sie die Menge R[x]n der Polynome

Question

Hi, kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?

Sei n ∈ N und betrachten Sie die Menge R[x]_n der Polynome, deren Grad höchtens n ist.

Sei D : R[x]_n → R[x]_n die Abbildung definiert durch D(p)(x) = $$ \frac { dp(x) }{ dx } $$

a) Zeigen Sie, dass D eine lineare Abbildung ist.

b) Berechnen Sie A_v,v(D) wobei v = {v₁ = 1, v₂ = x, v₃ = x² , . . . , v_n+1 = xⁿ} eine Basis von R[x]n ist.

Comments

Kann mir jemand zu b) eine Idee geben?

---

In die Spalten der Matrix kommen die Koordinatenvektoren der Bilder.

---

Würde die Matrix für n=3 so aussehen?

[ 0 1 0 0 ]

[ 0 0 2 0 ]

[ 0 0 0 3 ]

[ 0 0 0 0 ]

D(1) = D([1,0,0,0]^T) = [0,0,0,0] = 0
D(x) = D([0,1,0,0]^T) = [1,0,0,0] = 1
D(x²) = D([0,0,1,0]^T) = [0,2,0,0] = 2x
D(x³) = D([0,0,0,1]^T) = [0,0,3,0] = 3x².

---

Die Matrix ist richtig. Die vier Formeln unten drunter kann man nicht so schreiben.