Quadrik Q = {x ∈ R^{2} | x^{⊺} Ax + c = 0} mit A = 1/5((2, -6),(-6, 7)). lineare algebra

Question

Gegeben ist die Quadrik Q = {x ∈ R^{2} | x^{⊺} Ax + c = 0} mit



A = 1/5((2, -6),(-6, 7))


a) Bestimmen Sie die Eigenwerte λ₁, λ₂ von A und eine orthogonale Matrix F so, dass F^{T} AF eine Diagonalmatrix ist.

λ₁ = Kästchen
λ₂ = Kästchen     
F= Kästchen


(b) Bestimmen Sie eine euklidische Normalform und die Gestalt der Quadrik Q.

Euklidische Normalform   = Kästchen
Gestalt                  = Kästchen


Bei der b sollte es doch ein Hyberbel sein oder nicht? (ich rate/vermute)
wie könnte ich das aber begründen?

Lösungsweg ist mir ungemein wichtig ,)

Wenn es geht ausführlich bitte

Vielen Dank
immai

Comments

Eigenwerte von A berechnet dir

https://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvalue+(+1%2F5((2,+-6),(-6,+7))+)

Rechenweg via

https://www.wolframalpha.com/input/?i=det+(+1%2F5((2+-5k,+-6),(-6,+7-5k))+) 

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Das ergebnis ist aber falsch^^

Ich hatte vorher ein tippfehler

Es müsste -7 sein.

Und die lösung brauch ich nicht unbedingt.

Was mir wichtiger ist das ich den lösungsweg kenne .

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Meinst du das: https://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvalue+(+1%2F5((2,+-6),(-6,-+7))+)

?

Das kannst du doch selbst bei den Eingaben abändern.

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die eigenwerte kann ich inzwischen auch selbst rechnen.

ich kann aber F leider nicht berechenn .

nur lösung bringt mir nichts^^

kannst du mir erklären wie F geht?

Answer 1

Wie lauten denn die Eigenwerte und die Eigenvektoren? Danach musst Du die Transformation \( x = Fy \) durchführen. Die Normalform hängt natürlich auch vom Wert für \( c \) ab. Ich denke man muss \( c = 0 \) und \( c \ne 0 \) unterscheiden.

Comments

Ich weiss nicht wie ich hier eigenwerte bestimmen kann. Hab doch keinen weiteren vektor zum rechnen?
Und die transformation müsstest du bitte mal zeigen.

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Die Eigenwerte sind die Lösungen von

det( A - x * E ) = 0

Ich bekomme  11/5  und  -2/5  .

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Wo hast du den part mit XE her? Wir haben doch nur ein A gegeben?

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So berechnet man Eigenwerte. Das ist Standard. Lies Deine Aufzeichnungen mal genau durch.

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das man so macht, weiss ich inzwischen.

Aber mir fehlt hier irgendwie Die Ebene oder der x teil.(xteil hab ich ja nicht erstmal oder?) also einheitsmatrix E₂ ((1,0),(01))

det (1/5((2, -6),(-6, 7))  -   ((1,0),(01)) X )= weiss aber nicht genau wie ich das umsetzen soll.

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Rechne doch einfach mal die Matrix, dann die Determinante und dann das charakteristische Polynom aus. Also wenn Du diese elemntaren Dinge nicht weiss, dann wirds schwer.

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Ich tuh mich ab und an schwer damit.

Meinst du mit matrix ausrechnen den vorderen teil reinmultiplizieren?

Und die determinante kannst du mir kurz nur den ansatz zeigen bitte?

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Ich glaube Du solltest Dir erstmal die Grundlagen aneignen, dann kann man weiter helfen. Ich kann doch hier keinen Schulunterricht geben. Rechne erstmal selber. Es scheint als ob Dir wirklich wesentliche Teile Wissensteile fehlen.

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ich bin nur manchmal etwas verunsichert.

eine vorrechnung genügt bei manchmal vollkommen aus.

waren meine schritte gerade falsch?

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http://www.mathebibel.de/determinante-berechnen

muss ich also so vorgehen?

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ich hab vergessen das ich 1/5 nicht mitgerreechnet habe.
somit habe ich
λ1=1 und λ2=−2

|((2/5−λ),(−6/5), (−6/5),(−7/5−λ)|=

λ^{2}+λ−2=0

Wie Bekomme ich jetzt die F hin?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation

DA steht zwar S statt F

aber ich weiss nicht wie ich es umsetzen soll.

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$$ \det\begin{pmatrix}  \frac{2}{5}-\lambda & -\frac{6}{5} \\ -\frac{6}{5} & \frac{7}{5}-\lambda \end{pmatrix} = \left(\frac{2}{5}-\lambda\right)\left(\frac{7}{5}-\lambda\right)-\frac{36}{25} = \\\frac{14}{25}-\frac{9}{5}\lambda +\lambda^2-\frac{36}{25} = 0 $$
Also
$$ \lambda_{1,2} = \frac{9}{10}\pm\sqrt{\frac{81}{100}+\frac{88}{100}} = \frac{9}{10}\pm \frac{13}{10} $$
Also sind die Eigenwerte
$$ \lambda_1 = \frac{11}{5} $$ und $$ \lambda_2 = -\frac{2}{5}  $$

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Yo hast schon recht.

Ich hatte allerdings ein tippfehler es müsste -7 sein statt plus.

Wie komme ich auf F

Und euklidische form

Kannst du das bitte einmal vorrechnen?

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Jetzt berechne erstmal die Eigenvektoren und zwar selber.

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Yo wäre kein problem aber weiss in dem fall nicht wie

Mit det(A -E lambda)?

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Sry meinte

A mal eigenwerte?

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Schreib doch mal irgendeinen Ansatzz hin, anstatt immer zu sagen ich weiss nicht was ich machen soll. Z.B.

$$   Av = \lambda_1 v $$ und rechne \( v \) aus, und schreib nicht wieder, ich weiss nicht was ich machen soll. Einfach mal das Gleichungssystem lösen. Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten die auch noch voneinander abhängig sind weil ja \( \det(A) = 0 \) gilt. Das hast Du schon in der 10'ten Klasse gehabt.

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Und für v nehme ich x y z?

Rechte seite z.b. -2 x y z?

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Schreib um Himmelswillen doch mal die Gleichungen hin, meinetwegen mit x, y und z. Aber schreib sie hin, sonst werd ich noch wahnsinnig.

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Alles cool am besten beruhigen wir uns wieder ;)

Alles klar.

Bin grad draussen. Sobald ich daheim bin.

Mache ich es.

Stimmt der gedanken gang also?

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Ja was heisst Gedankengang. Ich kann nichts erkennen.

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Kannst du res mir vorrechnen bitte muss noch drauf komme wie man F= berechent

sonst stehe ich morgne blöd dar^^ deswegen einmal zeigen bitte. das reicht dann vollkommen aus

Vielen Dank

immai