Zwei Aufgaben zum Rotationsvolumen

Question

Moin folgende Aufgabe wird wohl falsch sein und bei der zweiten hab ich garkeine Ahnung was ich rechnen soll. Eine Korrektur bzw. ein detaillierter Rechenweg wär sehr hilfreich.

Aufgabe 1) Geben ist die Funktion y=r-r/h*x die im Intervall 0 < x < r um die X-Achse rotiert. Untersuche den Körper der entsteht und berechne sein Volumen. Entwickele eine allgemeine Volumenformel für einen Kegel mit dem Radius r und der Höhe h.

Körper: Zylinder

v = π * ∫ (-r/h*x+r)^2 dy   Grenze unten 0, Grenze oben r

v = π * ∫ (r/h)x^2 - 2* (r^2/h) + r^2 =  π* [1/3*(r/h)^3 - 2/3 * r^3/h + 1/3 *r^2 ]

Endergebnis?

Volumenformel: π*r^2*h

Aufgabe 2) Gegeben sei die Funktion y = √(r^2-x^2) die im Intervall 0<x<r um die x-Achse rotiert. Untersuche den Körper und berechne sein Volumen. Entwickele die Allgemeine Volumenformel für eine Kugel mit dem Radius r und der Höhe h.

Hier blick ich leider komplett nicht durch...

Ich danke euch, Gruß.

Answer 1

y=r-r/h*x

Dies ist die Formel für eine abfallende Gerade
von r auf 0 sobald x = h ist.
Rotiert diese Gerade um die x-Achse ergibt sich ein
Kegel.

y ( x ) = r - r/h * x
Damit es übersichtlicher bleibt
m = r / h ( Steigung )

Fläche
A ( x ) = y^2 * π
A ( x ) = ( r - m * x )^2 * π
A ( x ) = ( r^2 - 2 * m * x * r + m^2 *x^2 ) * π
Stammfunktion
S ( x ) = ∫ A ( x ) dx
S ( x ) = ( r^2 * x - 2 * m * x^2 / 2 * r + m^2 * x^3 / 3 ) * π
S ( x ) = ( r^2 * x -  m * r * x^2  + m^2 * x^3 / 3 ) * π

Volumen Kegel  bis zur Spitze x = h
V ( x ) = [ S ( x ) ] zwischen 0 und h
V ( x ) = ( r^2 * h - m * r * h^2 + m^2 * h^3 / 3 ) * π
m zurrückersetzen

V ( x ) = ( r^2 * h - r / h * r * h^2 + r^2/h^2 * h^3 / 3 ) * π
V ( x ) = ( r^2 * h - r^2 * h + r^2 * h / 3 ) * π
V ( x ) = π * r^2 * h / 3

Comments

Aufgabe 2) Gegeben sei die Funktion
y = √(r²-x²) die im Intervall 0<x<r
( wäre eine Halbkugel ) um
die x-Achse rotiert. Untersuche den Körper
und berechne sein Volumen. Entwickele die
Allgemeine Volumenformel für eine Kugel
mit dem Radius r und der Höhe h. ???
Was soll die Höhe h sein. ?

Sollte man kennen : Kreisgleichung
r^2 = x^2 + y^2
y ( x )  = √ ( r² - x² )


Deine Kegelberechnung enthält jede Menge
Fehler. Dann zeig einmal das du bei der Kugel
alles richtig berechnen kannst. Zeichne dir den
Kreis von x = -r bis x = r einmal auf.

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Erstmal Danke für die ausführliche Antwort. Den rotierenden Halbkreis und dann den Vollkreis habe ich wie folgt berechnet, zudem gehe ich davon aus das mit höhe h und r der y bzw. x-Wert gemeint sind.

y = √ r^2 - x^2

Vx = [ √ r^2 - x^2 ]^2 dx   (Löse Bionomische Formel)

     = π •  ∫ r^2 - x^2 dx     (Bilde Stammfunktion)

     = π • [ r^2 x - 1/3 x^3 ]  (Berechne Grenze 0 bis r, natürlich würde -r und r schneller gehen)

Vx = π • ( r^2 • r - 1/3 • r^3 ) - 0

     = π • 2/3 • r^2 (Halbkugel)

Vx (Ganze Kugel) = 2 • π • 2/3 • r^3 = 4/3 • r^3 • π

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Gut in Einzelschritten hergeleitet.
Ein paar kleine Fehler sind vorhanden.

Vx = [ √ r² - x² ]² dx   (Löse Bionomische Formel)
     = π •  ∫ r² - x² dx     (Bilde Stammfunktion)
     = π • [ r² x - 1/3 x³ ]  (Berechne Grenze 0 bis r, natürlich würde -r und r schneller gehen)

V ( x ) = [ √ r² - x² ]² * π dx   ( Löse Bionomische Formel)
Eine binomische Formel braucht nicht gelöst werden.
Quadrat und Wurzel heben sich auf.

     = π •  ∫ r² - x² dx     (Bilde Stammfunktion)

     = π • [ r² x - 1/3 x³ ]  ( Berechne Grenze 0 bis r, natürlich würde -r und r schneller gehen )
Bei Einsetzung von x = 0  entfällt der Term. Dies ist
in diesem ( manch anderen Fällen  auch )  einfacher.