Stammfunktion von -1/x^3 ; -5/x^6 ; 2/x^2 ; 3/x^4 ... berechnen?

Question

Was ist die Stammfunktion von :

-1/x^3 ; -5/x^6 ; 2/x^2 ; 3/x^4 ;

Mir ist wichtig wie ihr bei solchen auf das Ergebnis kommt und was ist die Stammfunktion bei solchen Beispielen :

5×x^-6 wie kommt man auf das Ergebnis?

!

Answer 1

5×x^-6eine Stammfunktion :

5* 1/-5 * x-5  allgemein   bei xn ist es  1/(n+1) * xⁿ⁺¹ für n ≠ -1

= - x^-5

etc.

Answer 2

$$allgemein:\\ \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c \\ \int \frac{2}{x^2} \space d x=2 \int x^{-2} d x \\ n=-2\\ \Rightarrow \quad  =2 \cdot \frac{1}{-2+1} x^{-2+1}+C \\ =2\cdot (-1)x^{-1}+C\\ =-2x^{-1}+C\\ =-\frac{2}{x}+C$$

                    

Answer 3

-1/x³ ; -5/x⁶ ; 2/x² ; 3/x⁴ ; 

Die Funktionsterme kannst du alle mit der Regel  1/aⁿ = a^-n 

als  (konstanter Faktor) * x^-n schreiben   [ z.B. ist 3 / x⁴ = 3 * x^-4 ]

Die Potenzregel für eine Stammfunktion:  f(x) = xⁿ  →  F(x) = 1/(n+1) * xⁿ⁺¹ 

                  [ Ausnahme n=1 ,  x^-1 hat den Stammfunktionsterm ln(|x|)  ] 

Im Beispiel:  f(x) = 3/x⁴  = 3 * x^-4   hat die Stammfunktionen 

F_c (x)  =  3 * 1/(-3) * x^-3 + c  = -1 / x³  + c

c ist dabei eine beliebige Integrationskonstante (z.B. c = 0) 

Gruß Wolfgang

Answer 4

Ich nenne deine Funktionen f und zugehörige Stammfunktionen F.

f(x) = -1/x^3 = - x^{-3}

F(x) = -  1/(-3+1)    x^{-3 + 1} = - 1/(-2) * x^{-2} = 1/2 * x^{-2} = 1/(2x^2)   ist eine Stammfunktion von f(x)

Kontrolle F ' (x) = 1/2 * (-2) * x^{-2-1} = -1 x^{-3} = -1/x^3

f(x) = -5/x^6 = -5 x^{-6}

F(x) = -5 *  1/(-6+1)  x^{-6+1} = -5 / (-5) x^{-5} = x^{-5} = 1/x^5

Kontrolliere selber....