Definitionsbereich der Differenzialgleichung: y'(t)=a*y(t)^2 ; y(0)=b mit a,b /= 0

Question

ich habe wie in der Überschrift geschrieben das Problem, dass ich den Definitionsbereich der DGl. finden soll.
Also für:

y'(t)=a*y(t)² ; y(0)=b 
mit a,b ≠ 0.

 

Ich wäre jetzt mit dem Ansatz für Getrennte Veränderliche (Trennung der Variablen) herangegangen.
Da die Gleichung ja autonom ist, und man sich entsprechend immer das 0*t "denken" kann.
Leider hänge ich jetzt bei den Ansatz:

sei nun g(t) = 0*t => G(t) = C₁

und h(y(t))=h(y)   => H^-1(y) = - 1/(ay) +C₂

=> 0 = -1/(ay) +C

mit y bzw.  y(t) = -1/(a*C)

So und hier habe ich jetzt aufgehört, da irgendwie das t fehlt.
Wäre super wenn mir wer helfen könnte! Bzw. sagen kann wie man hier ab besten heran geht.

 

Die Lösung lautet gemäß Lösung:

I= ( -∞,1/(ab)) für ab>0
bzw.
I=(1/(ab) , ∞) für ab<0.

Answer 1

Hi nouse,

ich kann die Trennung der Variablen von Dir nicht ganz nachvollziehen. Wobei der Ansatz der richtige sein sollte. Mal mein Vorschlag:

y'=ay^2        |:y^2

y'/y^2=a

∫1/y^2 dy = ∫a dt

-1/y = at + c

y = -1/(at+c)

 

Mit y(0)=b

b=-1/c

c=-1/b

 

y=-1/(at-1/b) = -b/(abt-1)

 

Da (abt-1) nicht 0 werden darft, ist abt=1 -> t=1/ab nicht erlaubt, was genau Deiner Lösung entspricht.

 

Alles klar?

Grüße

Comments

Hi.

VIelen Dank.

Einmal allgemein.
Ich meine in meiner VL gehört zu haben, dass die Trennung der Variablen bei jeder autonomen DGl.
vornehmbar sei. Also müsste das hier ja auch funktionieren oder?
Das müsste also auch beim einfachsten fall: y'(t) = a*y(t) "theoretisch" einsetzbar sein.

Der Schritt:

 

y'/y²=a

∫1/y² dy = ∫a dt

-1/y = at + c

 

Leuchtet mir nicht ganz ein.

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Was ich gemacht hatte, ist genau die Trennung der Variablen.

Und ja, dies lässt sich nur machen, wenn die rechte Seite als h(t)*g(y) darstellbar ist.

 

y'/y²=a

∫1/y² dy = ∫a dt

-1/y = at + c

 

Schreibe y' als dy/dt und multipliziere mit dt. Dann hast Du genau die schwarze Zeile.

Dann klar? So solltet ihr das auch im Unterricht gelernt haben. Wobei ich weiß ehrlich gesagt nicht, ob auch die "Mathematiker" das so rechnen :D. Ist zwar richtig, aber die Mathematiker sind sich da manchmal zu fein für :P.

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Super 1000 Dank.

Das hat mir enorm geholfen!!!!

Ja wir dürfen das so machen, müssen dann jedoch die Lösung "Prüfen".

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Gut gut. Dann ist die Sache wie oben gezeigt ganz einfach :D.


Gerne :)

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"Wobei ich weiß ehrlich gesagt nicht, ob auch die "Mathematiker" das so rechnen"
Du meinst etwas wie dy/y² = a dt ?
Das benutzt man als Mathematiker als Kurzschreibweise. Um dem formalen Sinn zu geben, müsste man dann schon Differentialformen einführen. Hübscher ist sowieso die Version mit bestimmten Integralen, die auch gleich den Anfangswert erschlägt.