Question

Wie kann man in eine Exponentialfunktion f(x)=ae^kx+b anhand des Schaubilds beschreiben?
Im Lösungsbuch sehe ich die Werte, aber Iich kann mir nicht denken wieso.

Die Abbildungen zeigen drei Schaubilder von Funktionen, die zum Typ f(x) = ae^kx + b gehören. Machen Sie Aussagen a, b und k.

Welches Schaubild lässt sich nicht zuordnen? Begründen Sie.

Comments

Wie kann man a definieren.

Sorry

Answer 1

Wie kann man in eine Exponentialfunktion f(x)=ae^kx+b anhand des Schaubilds beschreiben?

f(x)=ae^kx+b

g(x)=ae^kx  beschreibt exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall. 

lim_(x gegen -unendlich) g(x) = 0  bei exponentiellem Wachstum   (pos. k)

lim_(x gegen + unendlich) g(x) = 0 bei exponentiellem Zerfall (neg. k)

D.h. die x-Achse ist eine Asymptote an die Kurve von g(x) .

Drei der gegebenen Graphen haben eine horizontale Asymptote (nicht die x-Achse). Man kann daran das b in der Gleichung von f ablesen. A und B: b=2. D: b = 1.

Nun zu a.

A: f(0) = a*e^{k*0} + 2  = = a*1 + 2 =  1.5  (1.5  ungefähr! abgelesen)

a = -0.5

k ist positiv, das Minus vor dem a sorgt dafür, dass das "Wachstum" nach unten stattfindet.

Mit der Nullstelle bei x ca. 2.4 kommst du zur Gleichung f(2.4) = -0.5*e^{2.4k} + 2 = 0  und kannst k auch noch ausrechnen, wenn das nötig ist.

Analoge Überlegungen und Rechnungen bei B und D.

Da C kein Graph von exponentiellem Wachstum oder Zerfall ist (keine horizontale Asymptote), können a, k und b nicht bestimmt (geschätzt) werden.

Comments

Ah okay, also man braucht einen Punkt (du hast die NST genommen) damit man nur noch eine unbekannte (a) übrig ist. Anders wäre es nicht möglich a abzulesen?

Bzw. man benötigt immer Sy um k = 0 zu setzen oder?

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Und je größer a desto steiler der Wachstum oder gilt dies nur für k?

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@Orangedrop:

Zuerste b von der horizontalen Tangente holen.

Dann y-Achsenabschnitt betrachten a+b. Man subtrahiert b und bekommt a.

Dann k berechnen. Da kann man z.B. mit einer Nullstelle arbeiten.

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!

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PS: Bei der Berechnung von Sy hast du ja x=0 gesetzt und somit k=0 gesetzt. Das meinte ich.

Answer 2

a ist der Schnittpunkt mit der Y-Achse..

Comments

Das gilt nur, wenn b=0 ist, was bei den gegebenen Graphen nicht der Fall ist.

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Stimmt ! b+a wäre es dann! Tut mir leid.. bzw. wenn es ins negative geht b-a

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Das ist etwas besser: 

f(x)=ae^kx+b 

y-Achsenabschnitt ist jeweils: 

f(0) = ae^{k*0} + b = a*1 + b = a+b 

Answer 3

Die e-Funktionen erkennst du an den Funktionswerten

- kommen aus ±∞ und gehen einem Grenzwert entgegegen
oder
- kommen von einem Grenzwert gehen nach ±∞

f ( x ) = a * e^{k*x} + b

Für
f ( ±∞ ) = a * e^{k*[±∞]} + b
f ( ±∞ ) = 0 + b

Entweder bei  x = +∞  oder x = -∞ ist b ablesbar

A ) b = 2

f ( x ) = a * e^{k*x} + 2
Jetzt 2 weitere Punkte ablesen
P ( 0 | 1.5 )
P ( 2.7 | 0 )

f ( 0 ) = a * e^{-0*k} + 2 = 1.5
a * e^0 = -0.5
a = -0.5

f ( 2.7 ) = -0.5 * e^{2.7*k} + 2 = 0
e^{2.7*k} = 4
k = 0.513

f ( x ) = -0.5 * e^{0.513*x} + 2

mfg Georg