Thema Exponentialfunktion: fa(x)=x+ae^{-x}

Question

Ich habe ein paar kleinere Fragen. Bei allen weiss ich die Lösungen kann den rechenweg aber nicht nach vollziehen :-/
fa(x)=x+ae^{-x}
fa´(x)=1-ae^{-x}
fa´´(x)=ae^{-x}
ist das soweit richtig?
demnach wäre das extremum: 1-ae^{-x}=0
-1/-lna=-x (da sagt das Lösungsheft lna also habe ich damit mal weiter gerechnet)
fa(lna)=lna+ae^{-lna} Hier komme ich nun nicht weiter (lösungsheft: 1-lna)
das selbe problem habe ich bei den Wendepunkten :-/
Und dann gibt es noch frage b bei welchen ich einfach keinen Ansatz habe: welche scharkurve fa besitzt ein extremum auf der x bzw. auf der y-achse?
Wenn mir hier jemand helfen könnte wäre das wirklich echt super :-) Vielen Dank schonmal im Voraus

Answer 1

Löse das schrittweise auf und versuche zu viele Minus zu vermeiden.

Extremalstelle: 

1-ae^-x=0 

1 = ae^{-x}  | ln

ln(1) = ln(a) + ln(e^{-x})

0 = ln(a) -x ln(e)

0 = ln(a) - x

x = ln(a) 

Comments

fa´´(x)=ae^-x    = 0

ist nur möglich, wenn a= 0 ist. ==> keine Wendestellen, wenn a≠0.

Für a = 0 eigentlich auch nicht, denn f(x) = x ist eine lineare Funktion.

welche scharkurve fa besitzt ein extremum auf der x bzw. auf der y-achse? 

Auf der y-Achse: x = 0

x = ln(a) = 0

==> a = 1, denn nur ln(1) = 0. 

D.h. fa(x)=x+e^-x  hat Extremum auf der y-Achse.

Auf der x-Achse: y = 0

y = ln(a) + e^ (-ln(a))  = 0

ln(a) + 1/e^ (ln(a) )=0

ln(a) + 1/a= 0

ln(a) + 1/a = 0

Wenn das so weit stimmen würde, gibt es hier keine reelle Lösung. Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28a%29+%2B+1%2Fa+%3D+0

---

so hab mich jetzt mal eingeloggt

Ohh man super vielen dank

nur noch eine Frage:

oben beim bilden des Logarithmus dachte ich das es dann 1=lna*(-x) heißen muss.

heißt das wenn ich bspw: a*e^{x+4x}=lna+x+4x ?

Kannst du mir das vieleicht nochmal kurz erläutern :-)

---

Rechenregeln für den Logarithmus findest du  hier:

https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus

Gut möglich, dass ich da oben noch einen Fehler drinn habe. Vergleiche mal mit den Formeln.