Kurvenschar diskutieren. Neues Thema in der Schule. Bsp. fa ( x ) = x^3 - ax, a > 0

Question

Neues Thema in der Schule und ich verstehe es gar nicht

Führen Sie eine Kurvendiskussion der Kurvenschar fa durch. Skizzieren Sie die zu den angegebenen Parametern gehörigen Graphen.

a.) fa ( x ) = x^3 - ax, a > 0

Skizze: a = 3, a = 1, a = 6

b.) fa ( x ) = - x^3 + 2ax^2

Skizze: a = 3:2, a = -1

c.) fa ( x ) = x^4 - ax^2, a > 0

Skizze: a = 2, a = 4

Comments

x³ - ax, a > 0

Skizze: a = 3, a = 1, a = 6

~plot~ x^3 - 3 * x ; x^3 - 1 * x ; x^3 - 6 * x ~plot~

Answer 1

Funktion & Ableitungen

fa(x) = x^3 - a·x

fa'(x) = 3·x^2 - a

fa''(x) = 6·x

fa'''(x) = 6

Symmetrie

Punktsymmetrie zum Ursprung, weil nur ungerade Potenzen von x vorhanden sind.

Verhalten im Unendlichen

Der Graph verläuft aus dem III. Quadranten in den I. Quadranten bzw. von links unten nach rechts oben.

Y-Achsenabschnitt fa(0)

fa(0) = 0

Nullstellen fa(x) = 0

x^3 - a·x = x·(x^2 - a) = 0

x = 0

x = ± √a

Extrempunkte fa'(x) = 0

3·x^2 - a = 0

x = ± √(a/3)

fa(√(a/3)) = - 2/9·√3·a^{3/2}

fa''(√(a/3)) > 0 --> Tiefpunkt(√(a/3) | - 2/9·√3·a^{3/2})

Durch die Symmetrie --> Hochpunkt(-√(a/3) | 2/9·√3·a^{3/2})

Wendepunkte fa''(x) = 0

6·x = 0

x = 0

fa'''(x) > 0 --> Wendepunkt mit R-L-Krümmungswechsel im Ursprung

Answer 2

Das neue Thema ist ja offensichtlich: "Kurvendiskussion mit Parametern". Um dieses zu verstehen, musst du Kurvendiskussion ohne Parameter bereits beherrschen. Dann ist eigentlich nur noch wichtig zu wissen, dass Prameter genau so behandelt werden, als wären es Zahlen. Wie das im Einzelnen dann aussieht, steht in der anderen Antwort. Wenn die Zahl, für die der Parameter steht, bekannt ist, setzt du diese Zahl einfach an die Stelle des Parameters und bei allem, was den Parameter auch in der Lösung hat, wird der Parameter ebenso ersetzt. Wenn du natürlich ältere Lücken hast, musst du so lange weiter fragen, bis die Lücken geschlossen sind.