Question

Untersuchen Sie die Folge (a_(n)) mit a_(n) : = (√(32n) + 8)/(8 - √(2n))

Bitte zeigen Sie mit Rechnen. Danke  

Comments

Mir macht n = 32 etwas Probleme. Die Folge wäre doch an der Stelle überhaupt nicht definiert oder sehe ich da etwas verkehrt?

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zu (a) $$\frac { \sqrt { 2n } \sqrt { 16 } +\quad 8 }{ 8\quad -\quad \sqrt { 2n }  } \quad \leftrightarrow \quad \frac { 4\sqrt { 2n } +\quad 8 }{ 8\quad -\quad \sqrt { 2n }  }$$ Vermutung: a_n+1 ≥ a_n 

$$\frac { 4\sqrt { 2(n+1) } +\quad 8 }{ 8\quad -\quad \sqrt { 2(n+1) }  } \ge \frac { 4\sqrt { 2n } +\quad 8 }{ 8\quad -\quad \sqrt { 2n }  } \\ \\ \\ (4\sqrt { 2(n+1) } +8)*(8-\sqrt { 2n } )\le (4\sqrt { 2n } +\quad 8)*(8-\sqrt { 2(n+1 } )\\ \\ \\ -8n\sqrt { 1\quad +\quad \frac { 1 }{ n }  } +64-8\sqrt { 2n } +32\sqrt { 2(n+1) } \ge -8n\sqrt { 1\quad +\quad \frac { 1 }{ n }  } +64+32\sqrt { 2n } -8\sqrt { 2(n+1) } \\ \\ 26\sqrt { 2(n+1) } \ge 26\sqrt { 2n } $$

das gilt für alle n ∈ ℕ . Die Folge ist streng monoton steigend.

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Was ist die korrekte Fragestellung? 

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ich dachte erst da ich zweimal für n>32 multipliziere dreht sich ≥ zweimal um und dann stimmt es wieder aber ich bin mir da nicht mehr sicher und außerdem sind fehler drin 

Answer 1

Erweitere mit \( 8 + \sqrt{2n} \) dann kannst Du den Grenzwert berechnen

Answer 2

Die Aufgabe ist ein wenig seltsam.

Wegen \(a(0) = 1\), \(a(8) = 6\) und \(a(128) = -9\) ist \(a(n)\) sicher nicht monoton. Der offensichtliche Grenzwert \(a=-4\) kann bereits durch Ablesen bestimmt werden und damit muss \(a(n)\) konvergent und beschränkt sein.

Die Frage nach der Stetigkeit finde ich im Zusammenhang mit Zahlenfogen deplatziert und wohldefiniert ist die Folge wegen \(a(32)=?\) auch nicht.

Das händische Ausrechnen der Partialsummen finde ich eher mühselig.

Wo ist die Aufgabe her?