Konvergenzradius einer unendlichen Reihe berechnen

Question

Wie man einen Konvergenzradius allgemein bestimmt ist mir bewusst.

1 / (limsup_n→inf n√(a_n))

oder a_n+1/ a_n

Bei dieser Reihe hab ich mir überlegt, dass man den Sinus nach oben und unten durch 1 bzw. -1 abschätzen kann.

Ich weiß aber nicht, was ich dann bei der komplexen Zahl machen muss. Laut Wolfram Alpha kommt |z| < 1/5 raus.

für jegliche Hilfe!

Answer 1

Es geht wohl mit   oder a_n+1/ a_n  allerdings mit den Beträgen

nach dem Kürzen bleibt nur ( denn die sin-Werte sind ja alle vom Betrag 1 )

| a_n+1/ a_n | =  1 / | 3+4i | = 1 / √(9+16)  =  1/5 .