Funktionsgleichung zu einer Kurve? Stückpreis erste Hundert 25 ct, dann immer billiger. Am Schluss immer 0.01ct.

Question

Ich habe ein Problem mit einer Kurve

Zeichnen kann ich diese, aber leider kann ich die mathematische Funktion dafür nicht ansatzweise beschreiben.

Der Preis beginnt bei 25ct. Dieser bleibt linear bis zu 100 Stk. Danach fällt die Kurve stetig bis zu 1.000.000 Stück. An dieser Stelle kostet ein Stück noch 1 ct. (Wenn ich richtig konstruiert habe, ist dort ein Wendepunkt?) Anschließend fällt die Kurve weiter, erreicht aber nie die Abszisse sondern hält einen Abstand von mind. 0,01 ct.

In Werten würde dies bedeuten: Nimmt ein Kunde 1 Stück ab, kostet ihn dies 25ct. Nimmt er vier Stück ab, kostet ihn das 4 x 25ct=1€. Nimmt er 1.000.000 Stk ab, kostet ihn das 1.000.000 x 1ct=1.000.000 ct=10.000€. Die Steigung anschließend soll so sein, dass die Skaleneffekte geringer sind und der Wert von 0,01ct nie unterschritten wird. 

Comments

Du meinst vielleicht eine Exponentialfunktion.

~plot~ 0.5*e^{-x} + 2 ~plot~

Du könntest als Ansatz y = a*e^{-bx} + c verwenden. 

Und dann a, b und c bestimmen. 

Da ist aber immer noch eine lineare Einteilung (Skalierung) der Achsen nötig.  

Vorschlag für c: 0.01.usw. 

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Eigentlich suche ich einen Funktionsstring, die ich in einer Software nutzen kann, die mir abhängig von den abgenommen Stückzahlen den Gesamtpreis errechnet.

Prinzipiell lässt sich das in drei Teile zerlegen:

if <= 100 then FUNKTION A

if >100 AND <=1.000.000.000 then FUNKTION B

if > 1.000.000.000 then FUNKTION C

Optimal wäre das ganze in einer Zeile ohne If zu haben, aber ich benötige so oder so die drei Funktionen, wenn ich davon aus gehe, dass Georg in seiner vorigen Antwort recht hatte, dass es drei Funktionen sind.

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Ein Problem ist, dass ich nicht verstehe, ob du logarithmisches Papier verwendest oder nicht. 

Bei meinem Vorschlag hättest du Teil 2 und 3 in einem Funktionsterm, aber lineare Beschriftung der Achsen.

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Wenn ich Dich richtig verstehe, bezieht sich Deine Frage auf die Zeichnung.
Antwort: Diese ist "nur" eine Skizze.

Ziel der Antwort ist eine Berechnungszeile für die Entwicklung bereitzustellen, die je nach abgenommener Menge den Einzelpreis der Stücke berechnet. Die Preise ergeben sich eben aus dieser wohl doch sehr komplizierten Funktion.

Vielleicht hilft ein Beispiel:

Kunde A kauft 100 Stück: Er bezahlt 100*25ct.
Kunde B kauft 1.000 Stück: Er bezahlt 1000* ZIRKA 20ct
Kunde C kauft 1.000.000.000 Stück: Er bezahlt 1.000.000.000 * 0.1 ct
Kunde D kauft 1.000.001.000 Stück: Er bezahlt 1.000.001.000 * ZIRKA 0.095ct

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Ich kann mit den vielen kaufmännischen
Begriffen leider nicht so viel anfangen.

Mathematisch könnte man über " Stützpunkte "
die Sache in den Griff bekommen.

Preis  ( 100 ) = 25
Preis ( 1.000.000 ) = 1

If Preis > 25 then Preis = 25
if Preis < 0.01 then Preis = 0.01

Du könntest  jetzt weitere, dir wichtige Stützpunkte
angeben z.B.

f ( 10.000.000 ) = 0.01

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Georg, warum nicht Deinen Ansatz mit der F1=Gerade und F2=Gerade und F3=Exponential mit der Idee von Lu verheiraten und F2 zu einer Exponentialfunktion umbauen, die 

1.) Bei Punkt X=100 und Y=25 startet und

3.) die bei Punkt X=1.000.000.000 Y=1 hat und 

3.) sich nach X=1.000.000.000 dem Punkt Y=0.01 annähert, diesen aber nie erreicht.

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Kein Problem.

Ich will jetzt aber erst Abendessen.

Hier in meiner Nähe ( Siegen ) gibt es einen Ort Freudenberg. Hast  du was mit dem zu tun ?

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Nee, ist einfach "nur" der Nachname

Answer 1

Die Funktion ist 3-geteilt

Der Preis beginnt bei 25ct.
Dieser bleibt linear bis zu 100 Stk.

Dies ist sicher falsch formuliert.
Lineare Funktion : dies ist eine Gerade mit beliebigem
Steigungswinkel.
Deine Grafik zeigt
f ( x ) = 25 ct zwischen 0 und 100

Danach fällt die Kurve stetig bis zu 1.000.000 Stück.
An dieser Stelle kostet ein Stück noch 1 ct.
Stetig bedeutet eine Gerade

y = m * x + b
P ( x | y )
P1 ( 100 | 25 )
P2 ( 1000000 | 1 )
m = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( 25 - 1 ) / ( 100 - 1000000 )
m = -2 / 83325

25 = -2 / 83325 * 100 + b
b = 83333 / 3333

f ( x ) =  ( -2 / 83325 ) * x +  ( 83333 / 3333 )

Anschließend fällt die Kurve weiter, erreicht
aber nie die Abszisse sondern hält einen
Abstand von mind. 0,01 ct.

Hier könnte eine Exponential - Funktion
das Richtige sein.
Habt ihr so etwas schon gehabt ?

ich will jetzt erst einmal deine Reaktion abwarten.
Vielleicht solltest du den Originalfragetext
einstellen.

mfg Georg

Comments

Auf der senkrechten Achse soll vermutlich nicht "Euro" aufgetragen werden, sondern "Cent pro Stück".

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zunächst Danke für die schnelle und aufklärende Antwort...

Uups... das diese rot markierten Worte eine spezifische Bedeutung haben war mir so nicht klar (Betriebswirt und Mathematiker vergessen wohl unterschiedlich schnell).

Tatsächlich ist der erste Teil eine Gerade mit 0 Steigung.

Der zweite Teil ist dann wohl die von Georg genannte Funktion.

Der dritte Teil ...

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Wenn ich die Funktion ( -2 / 83325 ) * x +  ( 83333 / 3333 ) in https://rechneronline.de/funktionsgraphen/ bekomme ich aber keine Kurve

und last, but not least Achsenbeschriftung ist ct. 

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Eingabe hier https://www.matheretter.de/rechner/plotlux

ergibt

~plot~ (83333/3333);25; ( -2 / 83325 ) * x + ( 83333 / 3333 ); [[0|1000000|0|100]] ~plot~

Du musst vielleicht zoomen oder du hast sogar eine logarithmische Skalierung der Achsen. 

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Danke Lu,

die F₂ habe ich dann wohl verbal völlig falsch beschrieben. Das Ziel der Funktion Zwei wäre, am Anfang stärker zu fallen und im Verlauf weniger bis vor 1.000.000.. 

Hintergrund: Die fixen Kosten für einen Kunden sind ab 25 Stk. drinnen. Jedes weitere Stück hat einen positiven Deckungsbeitrag. Daran will ich den Kunden mit jedem mehr verkauften Stück teilhaben lassen. Bei 100 Stück soll er mehr profitieren und bei 100.000 Stück relativ gesehen weniger. Deshalb zwischen 100 Stück und 1.000.000.000 Stück die Kurve, die sich an die 1ct Linie (variable Kosten) angleicht. Ab 1.000.000.000 darf der Verlauf der Kurve gegen 0 gehen, aber 0.01ct nie unterschreiten.

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Die Funktionsgleichung lautet

f ( x ) = 24.99807 * e hoch (-3.228849 * 10^{-6} * x ) + 0.01

und gilt für 100 bis unendlich

Kann vielleicht auch für x < 100 genutzt werden
f ( 0 ) = 25.008

mfg

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Danke Georg!!!

Geht das in der Mathematik die beiden Formeln in einer zusammen zu fassen? 

Stand jetzt müsste ich einmal prüfen Stück< 100 dann 25 und wenn größer, dann deine Formel 

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Geht das in der Mathematik die beiden Formeln in einer zusammen zu fassen? 

Wie man sieht. Grins.

Bei x < 100 kommen etwas höhere Werte
zwischen 25.008 bis 25.00 ct ( bei 100 )
heraus.

f ( 1 ) = 25.008 Rechnungbetrag 0.25008 €
f ( 50 ) = 25.004 * 50 = 12.502 €
exakt 25 *50 = 12.50 €

Auf 2 Stellen gerundet dürfte das Ergebnis
immer dasselbe sein.

Kalenderspruch des Tages
Wenn du es eilig hast dann gehe langsam.

mfg Georg

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hihi,

schöner Kalenderspruch...

Ich habe Deine Formel in den plotlux eingegeben... dort kommt eine andere Kurve

~plot~ 24.99807 * e ^{-3.228849 * 10-6 * x } + 0.01 ~plot~

PS: e ist doch Euler, oder? Da habe ich mal was von gehört... :-)

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~plot~ 24.99807 * e ^{-3.228849 * 10^-6 * x } + 0.01 ~plot~

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Test, Fülltext

2*x;-x+3;[[-0,25|2|-0,5|4]]

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Mit plotlux kenne ich mich nicht aus.

Vielleicht mußt die die Wertebereiche mit angeben
x = 0 bis 2 * 10^6
y = 0 bis 28

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und last, but not least Achsenbeschriftung ist ct. 

Die Achsenbeschriftung sollte nicht ct sein, sondern z. B. ct pro Stück. Damit ist der Gesamterlös am Anfang tatsächlich linear und und der Stückerlös, so wie im Graph dargestellt, konstant. Ist eine solche Stückerlöskurve dann in etwa das, was du haben willst?

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War die letzten Tage angeschlagen. Wollte die Formel in die Software  implementieren lassen. Bin noch nicht dazugekommen.

Der Graph selbst ist relativ uninteressant. Er sollte "nur" meine Idee zeigen.

Aber, bist Du sicher bei der Aussage "der Stückerlös.. konstant". Konstant würde für mich "gleich" deuten. Aber genau das ist doch nicht der Fall. Der Stückerlös ist deggressiv.
Der Gesamterlös ist meines Verständnis nach linear. Der Stückerlös ist ja linear (bei 25ct von 0Stk. bis 100Stk.) und damit natürlich auch der Gesamterlös von 0-100Stk. Danach aber nicht mehr. 

Aber beide Aussagen mögen damit zusammenhängen, dass die umgangssprachliche Definition von Konstant und Linear gegenüber der mathematischen abweicht.

Die Formel muss ich wie oben beschrieben, empirisch im System prüfen. Ich melde mich wieder mit den Ergebnissen.

Vielen Dank aber für Eure Hilfe und Klärung.

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Ich bezog mich auf den Erlös pro Stück für die ersten 100 Stück.