Definitionsbereich zweier ln-Funktionen

Question

Gegeben seien 2 Funktionen:

1)  y(x)=ln((1+x)/(1-x))

2)  y(x)=ln((1-x)/(1+x))

Ich habe schon die Lösung: 1) alle Zahlen von -1 bis 1; bei 2) alle reelle Zahlen außer alle Zahlen zwischen-1 und 1.

Ich muss das ganze ohne Taschenrechner bestimmen können. Ich verstehe aber nicht die Lösung, wenn ich den Graphen nicht zeichne. Wie kann man Definitionsbereich in diesem Fall bestimmen ohne Taschenrechner und ohne Zeichnung?

Answer 1

y(x)=ln((1+x)/(1-x))

Das Argument eines Logarithmus muss grösser als 0 sein. Also: Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung: (1+x)/(1-x) > 0 .
Das Folgende nur zur Illustration der Fragestellung. Die Ungleichung sollst du so lösen, wie ihr das gelernt habt.
~plot~ ln((1+x)/(1-x)); x=-1; x=1 ~plot~  

Comments

Wieso ist dann bei Gleichung 2) der Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer -1, 0 und 1? :/

---

EDIT: Der Editor hat oben die beiden Graphen gleich kombiniert. Das wollte ich nicht. Daher Rest der Antwort jetzt hier

 
~plot~ ((1+x)/(1-x)); x=-1; x=1; 1+x; 1-x ~plot~ 

Bei der zweiten Aufgabe bestimmst du die Lösungsmenge der Ungleichung

(1-x)/(1+x) > 0 

---

Allerdings bekommst du bei beiden Aufgaben den gleichen Definitionsbereich.

Hast du beide ganz genau abgeschrieben?

Hier der Graph für die 2. Funktion

~plot~ ln((1-x)/(1+x));x=-1;x=1 ~plot~

Definitionsbereich D ={ x Element R | -1 < x < 1} 

---

Sie haben Recht, ich habe die 2. Gleichung falsch abgeschrieben. Die 2) Gleichung wäre y(x)=ln((x+1)/(x-1))... Sorry...

---

Aha. Das kannst du übrigens oben beim Plotter gleich selbst abändern.

Die Ungleichung, die du lösen musst, ist (x+1)/(x-1) > 0 . 

---

Ist aber dann nicht die Lösung gleich, also X = -1, X=+1? Ich hätte wieder geschrieben, dass der Definitionsbereich von -1 bis +1 geht und nicht dass es alle reellen Zahlen sind außer -1 bis 1.

---

(x+1)/(x-1) > 0 . 

1. Fall: 

(x+1)>0 und (x-1) > 0 

d.h.

x>-1 und x> 1 : kombiniert: x>1 

2. Fall

(x+1) <0 und (x-1) < 0

d.h. 

x < -1 und x < 1: kombiniert: x < -1

Insgesamt

L = { x Element R | x<-1 oder x> 1} 

Repetiere unbedingt die Logik beim Bestimmen von Lösungsmengen von Ungleichungen . 

Answer 2

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus definiert, wenn sein Numerus positiv ist. Der Numerus ist hier ein Quotient und der ist positiv, wenn sein Dividend und sein Divisor ein gleiches Vorzeichen aufweisen, sonst nicht.

Comments

Das habe ich leider nicht so wirklich verstanden. Sorry :(

---

Hm... was im einzelnen hast du denn nicht verstanden?

---

Sie haben gesagt, dass wenn Dividend und Divisor ein gleiches Vorzeichen haben, dann ist der Logarithmus definiert bzw. dann soll der Definitionsbereich definiert sein. Allerdings meine Lösungen weisen beide bestimme Definitionsbereiche, obwohl die Vorzeichen unterschiedlich sind.

Oder habe ich hier etwas falsch verstanden?

---

Für den Term in 1) muss gelten:

$$\frac {1+x}{1-x} > 0 $$und für den Term in 2)

$$\frac {1-x}{1+x} > 0. $$

Answer 3

Wie kann man Definitionsbereich in diesem Fall
bestimmen ohne Taschenrechner und ohne
Zeichnung ?

(1+x)/(1-x) > 0 

Division durch 0 ausschließen
1-x ≠ 0
x ≠ 1

Zähler und Nenner positiv : Term ist positiv
1+x > 0 und 1-x > 0
x > -1 und x < 1
-1 < x < 1

Zähler und Nenner negativ : Term ist positiv
1+x < 0 und 1-x < 0
x < -1 und x > 1
keine Schnittmenge

Insgesamt
( -1 < x < 1 ) und ( x ≠ 1 )

( -1 < x < 1 )
oder
] -1 ; 1 [

mfg Georg