x hoch x ist 13. Was ist x?

Question

x^x=13

Was ist x?

Ist diese Aufgabe möglich? Ich hab mal gehört, dass es nicht möglich ist das auszurechnen.

Danke

Answer 1

Man könnte es etwas umschreiben und dann mit der W Funktion nach x auflösen, dann könntest du mit einem Rechner der die W funktionkann, zB. Wolframalpha eine exakte zahl ausrechnen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion
In deinem Fall:
x= ln(13) / W( ln(13) ) ≈ 2.64106...

Comments

Wie die genaue Berechnung/Umstellung funktioniert, zeigt

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

{ dort ist auch ein LINK zum Umkehrfunktionen Rechner für LambertW(n,y) }

bei §3: x = log(y) / LambertW(-½ ± ½,log(y))

wobei y hier 13 ist:

 n |  log(13)/LambertW(n,log(13))

-1 | -0.0707039479857492463395+ 0.55038470504432065118833 i

 0 | 2.64106191648439580841184

 1 | -0.07070394798574924633953- 0.55038470504432065118833 i

Probe ergibt jedoch nur bei n=0 die 13, d.h., dass nur die reelle Lösung gilt:

x= 2.64106191648439580841184...

Hinweis an den Fragesteller: Die behaupten, dass die Umstellung nicht möglich sei, ignorieren die über 100 Jahre alte Funktion, die bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion

sogar schon als "Elementar" bezeichnet wird.

Und die, die den iterativen Algorithmus als "nicht elementar" bezeichnen, ignorieren dabei, dass irrationale Wurzelergebnisse (also die sqrt(x) Funktion z.B. bei Primzahlen) genau so iterativ berechnet wird.

Wenn Du jedoch einen sturen Lehrer hast, solltest Du ihm nicht widersprechen, denn die mögen so etwas nicht.

Und wer sagt, dass man gegenüber der Wurzel nur gerundete Ergebnisse berechnen kann, dem rechne ich mehrere 1000 Stellen aus, analog der Wurzel von Primzahlen...

{irrationale Zahlen sind logischerweise immer nur gerundet darstellbar, d.h. es gibt zur Wurzel keine Eigenschaftsunterschiede (außer bei Schubfachmenschen)}

Answer 2

x^x = 13    ⇔   e^x·ln(x) = 13  ⇔  e^x·ln(x) - 13 = 0

du suchst also Nullstellen der Funktion

f(x) =  e^x·ln(x) - 13      mit       f '(x) =  e^x·ln(x)  * (ln(x)+1)

Das geht nur mit einem Näherungsverfahren, z.B. dem Newtonverfahren: 

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert  x_alt , den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast (hier gibt es wegen der Monotonie nur eine) und manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für x_alt zum Beispiel eine  Extremstelle erwischt).

Mit dem Startwert x= 2 erhältst du z.B. die  Näherungslösung x ≈ 2,641061916 mit folgender Rechnung:

x	f(x)	f '(x)
2	-9	6,772588722
3,328886246	41,78653151	120,6748845
2,982612606	13,03385877	54,48365
2,743387466	2,936445956	32,01940296
2,651679137	0,275219921	26,22112247
2,641183022	0,003103768	25,63206833
2,641061932	4,06482E-07	25,62535489
2,641061916	0	25,62535401

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

bei dir
f ( 2 ) = 3

Richtig
f(x) =  e^x·ln(x) - 13
f ( 2 ) = -9

Irgendwo steckt in deiner Berechnung / Tabelle
ein Fehler.

meine Werte
2
3.33
2.98
2.74
2.651
2.641

mfg Georg

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Hallo Georg,

hatte wirklich einen Eingabefehler in der Tabelle. Habe ihn korrigiert.

Danke für den Hinweis.

(Freundlicherweise korrigiert das NV solche Fehler meist selbst, weil sie nur einen anderen Startwert bewirken. Deshalb war das Ergebnis richtig.)

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang,

für Berechnungen und Grafiken habe ich das Programm
MuPad und habe mir dort auch eine Anwendung
" Newton-Näherung " selbst geschrieben.

Was ist das " NV " ?

mfg Georg

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NV = Newtonverfahren  :-)

Answer 3

Eine Idee wäre:

f(x) = x^x sich das dann zeichnen zu lassen und bei y = 13 zu schauen.

Dann kommt man etwa auf 2.718

~plot~ x^x;13;[[14]] ~plot~

Answer 4

Man kann sicher kein Standardverfahren mit einer exaktenLösung nennen, aber eineAnnäherung an die Lösung ist durchaus möglich: Im ersten Schritt findet man 2²<13<3³ und weiß, dass die Lösung zwischen 2 und 3 liegt.

Answer 5

Mit dem Newton-Verfahren kann, auch zu Fuß,
berechnet werden
x = 2.641

mfg Georg

Answer 6

x ^ x = 13 | (...) ^ (1 / x)

x = 13 ^ (1 / x)

Das ist eine sogenannte Fixpunktgleichung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration

Mit einem geeigneten Startwert für x kann das konvergieren, wenn man Glück hat.

In deinem Beispiel habe ich festgestellt, dass fast jeder Startwert für x konvergiert, was gut ist.

Allerdings ist die Konvergenz sehr langsam, mit dem Startwert x = 100 (was weit von der echten Lösung weg ist) braucht man beispielsweise zirka 1200 Iterationen für eine Genauigkeit von 13 Stellen nach dem Komma, was aber mit einem programmierbaren Taschenrechner, und dergleichen, kein Problem ist.

x = 2.6410619164844 (gerundet)

Comments

In der Praxis ist es wohl allgemein am
einfachsten umzustellen
x^x = 13
f ( x ) = x^x - 13

Davon eine Grafik zeichnen zu lassen
und die ungefähren Nullstellen als Startwerte
zu verwenden.

mfg Georg

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Danke für deinen hilfreichen Kommentar !

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Gern geschehen.

hat zwar nichts mit deinem Kommentar zu tun aber
hier der Kalenderspruch des Tages

Verliert der Bauer im August die Hose war im
Juli das Gummiband schon lose.

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;-))

Kommt ein Vektor zur Drogenberatung und sagt

"Herr Doktor, bitte helfen sie mir, ich bin linear abhängig."