Erzeugung von Primzahlen

Question

Seien M, N teilerfremde natürliche Zahlen, deren Folge der Primfaktoren bzw. Primfaktorenpotenzen die Primzahlen 2...p_n insgesamt lückenlos enthält.

Sei ferner S= |M+-N| < (p_n+1)². Dann ist S = 1 oder prim.

Der Satz ist vermutlich nicht schwer zu beweisen, aber meine Beweisversuche sind nicht wasserdicht.

Comments

Hi, wie muss das mit der Folge der Primfaktoren aufgefasst werden?

Sei M=2⁸, N=3 dann ist ggT(N,M) = 1 und die Folge der Primfaktoren enthält die Primzahlen p₁=2 bis p₂=3 lückenlos. Dann ist der Aussage nach S = | 256 - 3 | < p₃² = 9. Es stimmt weder die Ungleichung, noch ist S=1 noch ist S prim, da S = 11 * 23

Gruß

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Beispiel: M=2*5*11, N=3*7, S=M+-N=131,89, beide prim, da < 13².

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Jetzt mal in Prosa: Ich habe eine Handvoll Primzahlen lückenlos von 2 bis p_n. Statt der Primzahlen sind auch Primzahlpotenzen erlaubt, also 2³ oder 7⁴ oder sowas, auch p⁰, also 1. Ich verteile diese Zahlen als Faktoren auf M und N und bilde S=absolut(M + oder - N). Wenn das Ergebnis S < (p_n+1)² ist, ist es = 1 oder prim.

 

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Kann es sein, dass das S=0 ( und nicht S = 1 ) heißen soll ???

Ach nee, verstehe. Man soll die Primzahlen auf beide ( M und N ) verteilen.

Das macht Sinn.

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Wenigstens muss in M 2 und in N 1 stehen (oder umgekehrt). Immer wenn in M oder N 1 (=p^0) steht, ergibt sich ein Zwilling (immer vorausgesetzt, dass S<(p(n+1))^2 ist.. Bsp.: 2*3*5+-1=31,29. Beide prim, da < 7^2.

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Beispiele, was man mit den Potenzen von 2,3 und 5 (zu denen auch die 1 gehört, da p⁰=1) alles machen kann (alle S = 1 oder prim, da < 7²):

2*3*5 ± 1 = 31, 29

2*3 ± 5 = 11, 1

2*5 ± 3 = 13, 7

3*5 ± 2 = 17, 13

2² * 3 ± 5 = 17, 7

2² * 5 ± 3 = 23, 17

2² * 3² ± 5 = 41, 31

2³ * 3  ± 5 = 29, 19

|2 * 3² ± 5²| = 43, 7

Nimmt man z.B. die 7 als Faktor hinzu, erhält man alle Primzahlen < 11² = 121.