Fourrierreihe von f:[pi,pi] -> R f(x)= { (0 für x€[-pi,0));(1 für x€[0,pi])) bestimmen

Question

Ich steige bei den Fourier-Reihen nicht so ganz durch.

Anbei eine Einstiegsaufgabe die ich einfach nicht zu lösen weiß.

Ich würde spontan Tippen, dass es sich um eine reine Sinusreihe handelt,
da es sich hier um eine ungerade Funktion handelt.

\( f:[-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x):=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text { für } x \in[-\pi, 0) \\ 1, & \text { für } x \in[0, \pi]\end{array}\right. \)

a) Wie lautet die Fourierreihe von f?

b) Für welche x  R die eben bestimmte Fourierreihe eine konvergente Reihe ist

und bestimmen Sie für alle diese x den Reihenwert.

Comments

Wieso sollte die Funktion ungerade sein? Hast du dir mal eine Skizze gemacht?

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Hi ja das ist mir auch aufgefallen :-) ziemlich doof.

Trotzdem bin ich nicht viel weiter gekommen : /.

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Du hast doch sicher eine Formel für die Koeffizienten der Forier-Reihe. Darin kannst du jetzt einfach einsetzen. Kannst du dann die auftretenden Integrale ausrechnen?

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ich bekomme heraus.

\( a_{n}=\frac{1}{\pi n}(\sin (n \pi)) \)
\( b_{n}=-\frac{1}{\pi n}(\cos (n \pi)-1) \)

da ich das Integral jeweils von [-π,0]und [0,π] aufgeteilt habe im der Funktionsvorschrift gerecht zu werden.

Jetzt komme ich bei der Bestimmung von a₀ bzw. a₀/2 nicht weiter.

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Das hat jetzt auch geklappt.
Absoluter "Dummheits"-Fehler.

ok a₀ = 1

Damit musste die Reihe wie folgt sein:

\( \frac{1}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n \pi} *(\sin (n \pi) \cos (n x)-(\cos (n \pi)-1) * \sin (n x))\right) \)

oder?

Und zur b) soll man hier den Konvergenzradius r für die Reihe bestimmen?

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Die Reihe sieht gut aus. Aber was für einen Konvergenzradius meinst du? Die Reihe ist doch gar nicht in der Form einer Potenzreihe. Habt ihr keinen allgemeinen Satz über die Konvergenz der Fourier-Reihe?

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Also im eignen Skript finde ich dazu nichts passendes.
In einer Folie der Tu München steht, dass eine Fourierreihe einer Stückweise glatten Funktion für alle x ∈ ℝ konvergiert. Da die Funktion in ihren Definitionsintervallen jeweils ∈ C∞
und damit auch in diesen Stetig ist, würde ich nach der Wikipedia-Definition + Folie zu "Glatt" dieser Funktion stückweise "glatt-heit" attestieren :-).

Quelle: http://www-hm.ma.tum.de/archiv/mw4/ss04/folien/Definitionen2.pdf

Damit wäre gesagt, dass die Funktion für alle x in R konvergiert.

Sollte daran etwas falsch sein, lass(t) es mich wissen.

Wie bekomme ich nun die Reihenwerte heraus?

Klar ich müsste einen Wert oder Werte für X finden für die die Reihe die Form einer bekannten Reihe  annimmt, oder Dauerhaft 0 ist.

Z.b.: Für x=k*^π
Wird die ganze Summe 0 => 1/2

Aber es muss ja noch weitere geben?

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Die Aussagen aus dem Link stimmen; dort ist auch zu entnehmen, wie der Grenzwert aussieht. Hier ebenfalls: https://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Bedingung

Aber eigentlich müsstet ihr dazu irgendetwas formuliert haben.

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Alles was ich finden kann ist:
"Die Fourierreihe konvergiert an allen Punkten x₀ € R an denen die periodische Fortsetzung f_p stetig ist gegen f_p(x₀)".

Heißt die Wiki-Aussage für obige Funktion, dass

der Reihenwert für k*π = 1/2 ist da f in 0 unstetig ist, und damit auch in allen vielfachen von π aufgrund der Fortsetzung?

Für alle x die in k*2π (-π,0) ist der Reihenwert entsprechend f(x) für   [-π,0) = 0

Und für alle x in k*2 (0,π) ist der Reihenwert 1.

Für alle k € Z.

Stimmt das so und stimmen meine Intervallgrenzen?

Vielen Dank für deine Hilfe!

Answer 1

Mit der Aussage, die du da zitiert hast, hast du die Intervalle (-π,0) und (0,π) abgedeckt, das hast du im wesentlichen richtig aufgeschrieben. Aber was soll "[-π,0)=0" heißen? Ein Intervall kann nicht gleich einer Zahl sein. Und genauso ist k*π nicht 1/2 (zumindest für ganze Zahlen k).

Und an den Stellen 0 und π hast du den Reihenwert ja schon ausgerechnet. Mit der 2π-Periodizität der Fourier-Reihe ergeben sich die restlichen Werteautomatisch.

Comments

Wie schreibe ich die Intervalle dann richtig?

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Zunächst einmal setze kein Gleichheitszeichen, wenn das Wort "gleich" genügen würde.

Beispiel:
"Der Reihenwert ist auf (0,π) gleich 1".
Da hat ein Gleichheitszeichen nichts zu suchen. Das verbindet nur tatsächliche Terme und ist kein Ersatz für "gleich" oder "ist gleich" im Fließtext.

Ich würde den Reihenwert zunächst auf (-π,0), in 0, auf (0,π) und in π angeben. Dann einfach schreiben, dass der Rest durch Periodizität festgelegt ist.