Vollständige Induktion r∑i=0 ((-1)^i)/(3^i) == 3/4 (1-((-1)^{r+1})/((3^{r+1})

Question

Aufgabenstellung

r∑i=0 ((-1)^i)/(3^i) == 3/4 (1-((-1)^{r+1})/((3^{r+1})

Ich hab für linke Seite -1 rausbekommen i = 0

-1^0/3^0 = -1

Ich komm bei Induktionsbasis nicht mehr weiter.

Ich hab r = 0 ausprobiert komme nur auf +1 und nicht -1. (r=1,2 funktioniert überhaupt nicht)

Irgendwie komm ich auf der rechte Seite nicht mal auf eine negative Zahl wegen dem 1

Grüße

Comments

Nur die geraden r funktionieren und ich habe immer raus 1/9 = 1/18 ; 1/81=1/162 ; 1/729=1/1458 also im Nenner das Doppelte das hast du irgendwo falsch abgeschrieben schau doch nochmal

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Ich vermute es heißt 3/2 statt 3/4 kann das sein?

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übrigens ist bei dir (3)^0 =1 aber (-1)^0 ≠ 1 wie kann das sein?

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Was ich vergaß das Summenzeichen finde ich passt gar nicht hin weil ich rechts immer einen geradzahligen Bruch bekomme mit im Zähler 1  weil: 1-1/3 nicht -1/18 sein kann und -1/18 + 1/9 = 1/18

Answer 1

r∑i=0 ((-1)ⁱ)/(3ⁱ) = 3/4 (1-((-1)^r+1)/((3^r+1)Das ist wohl

$$  \sum_{n=0}^{r}{\frac { (-1)^i }{ 3^i }}=\frac { 3 }{ 4 }*(1-\frac { (-1)^{r+1} }{ 3^{r+1} })$$


und das passt, wenn du links r=0 setzt, hast du einen Summanden  1/1  und das ist 1.

rechts gibt es (3/4) *( 1  -    (-1) / 3 )   =  (3/4) * ( 4/3)  = 1  Passt also.

Induktionsschritt klappt auch, Das ganze ist halt nur eine etwas listig

aufgeschriebene geometrische Reihe.

Answer 2

Induktionsanfang r=0:

$$\\ \sum _{ i=0 }^{ 0 }{ \frac { { (-1) }^{ i } }{ { 3 }^{ i } }  } =1 =\frac { 3 }{ 4 } \left( 1\quad -\frac { { (-1) }^{ 1 } }{ { 3 }^{ 1 } }  \right)  $$

InduktionsVorausetzung, für ein r ∈ ℕ gilt:

$$\sum _{ i=0 }^{ r }{ \frac { { (-1) }^{ i } }{ { 3 }^{ i } }  } =\frac { 3 }{ 4 } \left( 1\quad -\frac { { (-1) }^{ r+1 } }{ { 3 }^{ r+1 } }  \right)$$

Induktionsbehauptung, das soll für alle r ∈ ℕ gelten:

$$\sum _{ i=0 }^{ r+1 }{ \frac { { (-1) }^{ i } }{ { 3 }^{ i } }  } =\frac { 3 }{ 4 } \left( 1\quad -\frac { { (-1) }^{ r+1+1 } }{ { 3 }^{ r+1+1 } }  \right) =\frac { 3 }{ 4 } \left( 1\quad -\frac { { (-1)(-1) }^{ r+1 } }{ { 3*3 }^{ r+1 } }  \right) \\ \\ =\quad \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } \frac { { (-1) }^{ r+1 } }{ { 3 }^{ r+1 } } $$

Induktionsschritt:

$$ \sum _{ i=0 }^{ r+1 }{ \frac { { (-1) }^{ i } }{ { 3 }^{ i } }  } =\quad \sum _{ i=0 }^{ r }{ \frac { { (-1) }^{ i } }{ { 3 }^{ i } }  } +\frac { { (-1) }^{ r+1 } }{ { 3 }^{ r+1 } }  \\ n.IV := \frac { 3 }{ 4 } \left( 1\quad -\quad \frac { { (-1) }^{ r+1 } }{ { 3 }^{ r+1 } }  \right) +\frac { { (-1) }^{ r+1 } }{ { 3 }^{ r+1 } } \\ \\ =\quad \frac { 3 }{ 4 } -\frac { 3 }{ 4 } \frac { { (-1) }^{ r+1 } }{ { 3 }^{ r+1 } } +\frac { { (-1) }^{ r+1 } }{ { 3 }^{ r+1 } } \\ =\quad \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } \frac { { (-1) }^{ r+1 } }{ { 3 }^{ r+1 } } \\ $$