Wie kann ich die Nullstellen der Funktion herausfinden? fa (x) =ax^4 -(a+1)x^2+1

Question

fa (x) =ax^4 -(a+1)x^2+1

Ich weiß dass es hier um ein Funktionsschar handelt und meine Frage ist kann man das mit Mitternachtsformel machen, wenn ja dann wie?

Dankeschön.

Answer 1

ax⁴ -(a+1)x²+1 = 0. Setze z für x². Dann heißt die Gleichung a·z²-(a+1)·z+1=0. Das mit Mitternachtsformel lösen und in z=x² einsetzen, Bis zu vier Lösungen.

Answer 2

Mitternachtsformel vgl. vorhandene Antwort.

Die Frage schreit aber nach einer Faktorisierung.

fa (x) =ax^4 -(a+1)x^2+1  

=ax^4 -a x^2 - x^2 +1

= ax^2 (x^2 -1) - (x^2 - 1)

= ax^2 (x^2 -1) - 1*(x^2 - 1)      | x^2 - 1 ausklammern! 

= (ax^2-1)* (x^2 -1)   | 3. binomische Formel (Annahme a> 0)

= a(x^2 - 1/a)(x-1)(x+1)

= a(x-1/√a)(x+1/√a)(x-1)(x+1)

Nachrechnen. Nullstellen ablesen und die Fälle a=0 und a<0 noch separat betrachten.