Lage und Vielfachheiten von Nullstellen bestimmen a) fa(x)=1/80(8x^3-ax^4)

Question

Hallo :)

Hier die Aufgabe:

fa(x)=1/80(8x³-ax^4)

Als Nullstellen bekomme ich eine dreifache bei 3 und einer vierten bei x=8/a

Ich komme auf eine faktorisierte Form von fa(x)=(1/80)x³(x-(8/a)

Stimmt das?

Nächste Aufgabe ;)

fk(x)=(k/9)x³-(2k/3)x²+kx

Meine Nullstellen ergeben:

x1=0, x2/3=3

Faktorisierte Form:

fk(x)=(k/9)x(x-3)²

Jetzt habe ich mal eine Frage:

Ich habe immer die Zahl vor der Klammer weggelassen, nachdem ich erfahren habe, dass die Zahl da irrelevant ist für die Nullstellenbestimmung. Jetzt frage ich mich warum?

Und stimmen meine obigen Aufgaben?7

LG

Simon

Answer 1

Hi Simon,

 

fa(x)=1/80(8x³-ax⁴)

 

Die Nullstellen hast Du richtig benannt. Hast aber falsch faktorisiert. Dazu gleich mehr

Korrekt wäre:

fa(x)=(1/80)x³(8x-a)

 

Der zweite Teil ist korrekt.

 

Zu Deiner Abschlussfrage:

Hier kann man mit "Satz vom Nullprodukt" argumentieren. Dieser beagt, dass ein Produkt 0 ist, wenn es ein Faktor ist.

Folglich kannst Du zum Beispiel für h(x) = 5x^2-5 = 5(x^2-1) die Nullstellen bestimmen, in dem Du sagst, entweder ist 5 = 0, oder x^2-1 = 0.

Der Vorfaktor 5 ist uninteressant (kann auch a etc sein), da er nicht 0 wird (und wenn doch, dann entsprechend vermerken).

Aber nur zur Bestimmung der Nullstellen, wo der zusätzliche Faktor wurscht ist. Im Falle der Faktorisierung wäre es aber falsch diesen nicht zu berücksichtigen, da der Faktor ein Teil der Funktion ist.

 

Im Falle der ersten Funktion hast Du nun behauptet, dass (8-ax) dasselbe sei wie (x-8/a). Das aber ist um einen Faktor falsch und ist deshalb nicht identisch (die Nullstellen sind allerdings dieselben. Siehe obige Begründung).

 

Grüße

Comments

Wenn ich die x³ der ersten Funktion ausklammere bleibt ein Rest von 8-ax, der auch 0 wird wegen der Nullstellen,

8-ax=0/+ax

8=ax/a

x=8/a

Wo ist mein Fehler?

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Nirgends? Die Nullstellen hatte ich auch nirgendwo angezweifelt, wenn Du das nochmals durchliest.

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ok, aber wie kommst du dann bei der faktorisierten Form auf

fa(x)=(1/80)x³(8x-a)

Durch Umformung ergibt ja das Produkt von 8x-a mein Ergebnis aber wieso ist es falsch, wenn ich hinschreibe

...(x-(8/a)

?? ;)

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Dein Problem liegt hier:

8-ax=0   |+ax

8=ax       |:a

Du dividierst. Du musst das (für die Fakorisierung) eher so machen:

8-ax = 0                |ausklammern von 1/a

a(8/a - x) = 0

Somit ist x=8/a, aber der Faktor ist (8-ax) oder a(8/a-x)

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8-ax = 0                |ausklammern von 1/a

Wo kann man hier 1/a ausklammern?

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Sry ich meinte a ausklammern.

Habs ausgebessert. Damit dann klar? :D