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Ich habe ein kleines Problem beim Verstehen des Rechnenweges der folgendenen Integration.

sin((lk)x)dxmitl,kϵZnunsetzteichu=(lk)x>dudx=lksoweitistfu¨rmichallesversta¨ndlich.NunaberzumeinemProblem : AlsLo¨sungerhalteichimna¨chstenSchrittviaIntegrationsrechner1lksin(u)duIchverstehejedochnichtgenau,wieichaufdie1lkkomme. \int { sin((l-k)x)\quad dx\quad mit\quad l,k\quad \epsilon \quad Z \quad nun\quad setzte\quad ich\quad u\quad =\quad (l-k)x\quad ->\quad \frac { du }{ dx } } =l-k\\ soweit\quad ist\quad für\quad mich\quad alles\quad verständlich.\\ Nun\quad aber\quad zu\quad meinem\quad Problem:\\ Als\quad Lösung\quad erhalte\quad ich\quad im\quad nächsten\quad Schritt\quad via\quad Integrationsrechner\quad \frac { 1 }{ l-k } *\int { sin(u)\quad du } \quad \\ Ich\quad verstehe\quad jedoch\quad nicht\quad genau,\quad wie\quad ich\quad auf\quad die\quad \frac { 1 }{ l-k } \quad komme.

mfg Stanley

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Hat sich erledigt. Manchmal seh ich die einfachsten Dinge nicht.

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sin((lk)x)dx\int { sin((l-k)x)\quad dx }

Lösen durch Substitution u = (l-k)x


dudx=(lk)dx=dulksin((lk)x)dx=sin(u)dulk=1lksin(u)dusin(u)du=cos(u)1lksin(u)du=1lk(cos(u))=cos(u)lk\frac { du }{ dx } =(l-k)\\ \\ dx=\frac { du }{ l-k } \\ \\ \int { sin((l-k)x)\quad dx } =\int { sin(u)\quad \frac { du }{ l-k } } =\frac { 1 }{ l-k } \int { sin(u)\quad du } \\ \\ \int { sin(u)\quad du } =-cos(u)\quad \\ \\ \frac { 1 }{ l-k } \int { sin(u)\quad du } =\frac { 1 }{ l-k } (-cos(u))=-\frac { cos(u) }{ l-k } \\ \\


Rücksubstitution u = (l-k)x


cos(u)lk=cos((lk)x)lksin((lk)x)dx=cos((lk)x)lk+C\\ -\frac { cos(u) }{ l-k } =-\frac { cos((l-k)x) }{ l-k } \\ \int { sin((l-k)x)dx } =-\frac { cos((l-k)x) }{ l-k } +C

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Es gilt immer

f(ax+b)=1aF(ax+b) \int f \left(ax+b\right) = {1\over a} F \left(ax+b\right)

Da ergibt sich primitiv, wenn man die rechte Seite wieder ableitet. Das ist eine Regel, die muss man nicht durch überflüssige Substitutionen aufblasen.

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