Rechtwinkliges Dreieck mit Sinus kosinus Tangens

Question

Aufgabe:

Berechne die rot markierte Größe der Dreiecke:

Wie wird die Aufgabe 5A,B,C,D,G berechnet? Vor allem die Aufgabe D & G?

Answer 1

Was musst du wissen ?

Du musst wissen von welchen Winkel aus gesehen welche Seite eines Dreiecks zu bezeichnen ist. 

Vielleicht hast du auch schon von der Eselsbrücke gehört

GAGA über Hühner Hof AG

Das schreibst du so:

GAGA
HHAH

Das erste ist der Sinus, das zweite der Cosinus, das dritte der Tangens, das vierte ist der Cotangens. 

sin α = Gegenkathete / Hypotenuse

cos α = Ankathete / Hypotenuse 

tan α = Gegenkathete / Ankathete 

cot α = Ankathete / Hypotenuse

Vergleiche jetzt oben mit der Aufstellung der Eselsbrücke, siehst du den Zusammenhang ? 

Merke dir folgende Sachen 
Die Seite gegenüber dem Rechnenwinkel ist die: Hypotenuse (die längste Seite in einem Rechtwinkligen Dreieck).
Die Seite gegenüber deinem gesuchten Winkel ist die Gegenkathete. 
Die andere Seite ist dann die Ankathete, also nicht die Hypotenuse, und nicht die Gegenkathete ist die Ankathete. 


Aufgabe Lösen

Aufgabe a)

Was is gegeben ? 

Hier siehst du, dass die Seite gegenüber dem Rechtenwinkel, die ist, die mit 7 cm bezeichnet ist. Also Die Hypotenuse.
Weiter hast du einen Winkel alpha von 35° gegeben und gesucht ist die Seite x.

Hypotenuse: 7 cm 
Winkel alpha: 35°

Es fehlen die Gegenkathete und die Ankathete

Jetzt müssen wir herausfinden, ob x vom Winkel alpha betrachtet aus die  Gegenkathete oder Ankathete ist ? 

Welche Seite ist gesucht ? 

Wir schauen... also Gegenkathete ist die dunkle Seite weil die gegenüber von Alpha ist, die Hypotenuse ist ja die, die 7 cm lang ist.
Also ist die gesuchte Seite x die Ankathete zum Winkel α.

Jetzt musst du schauen wie du die Ankathete bekommst. Dafür schaust du oben in die Eselsbrücke und siehst dass 
Der cosα Den Winkel a beinhaltet, die Hypotenuse, und die Ankathete ist. 

Durch Termumformung kannst du die Ankathete isolieren, und ausrechnen. 

cos(α) = Ankathete / Hypotenuse  I α = 35°, Hypotenuse = 7 cm

cos(35°) = Ankathete / 7 I *(7) Auf beiden seiten 

7 * cos(35°) = Ankathete

5.73  = Ankathete 

Also x = 5.73 cm 


Du schaust also immer was gegeben ist, identifizierst die Seiten und schaust was gesucht ist und nimmst entweder gemäss Eselsbrücke sin, cos, tan, cot.....

Comments

Danke, jetzt komme ich weiter, aber ich weiß leider nicht welches bei B C D G kommt, also ob Sinus Kosinus und Tangens.

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Aufgabe d)

Was ist gesucht ? 

Winkel Alpha 
Hypotenuse ist unbekannt

Was ist gegeben ? 

Gegenkathete 4 cm 
Ankathete 6 cm 


Was machst du jetzt ? 

Gemäss Eselsbrücke, schaust du Wo hab ich die Gegenkathete und Ankathete gegeben ? 

tan(α) = GK/AK

Also du siehst dass der Winkel α noch keinen Wert hat, aber mithilfe der GK und AK du ihn herausbekommst. Du setzt nun GK und AK ein.


tan(α) = 4/6

jetzt hast du rechts "Viersechstel" stehen. ICh würde das genau so in den Taschenrechner eingeben. 
Und weil du Alpha brauchst muss links das tan weg vom alpha. Siehst du das?


Taschenrechner benutzen 
Das erreichst du indem du tan^-1 machst. Also gibst du im TR 4/6 ein und drückst die Taste tan^-1.


tan(α) = 4/6 I tan^-1

α = 33.69°

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Aufgabe b ) 

Wenn du das Dreieck betrachtest, siehst du was gegeben ist. 

Der Winkel 26°
Gegenüber diesem Winkel haben wir oben angeschaut liegt die Gegenkathete oder? 
das wäre die Rote Seite x, die wahrscheinlich auch gesucht sit. 

Also wissen wir bis jetzt, 

Winkel 26° 
GK: x

Wir schauen wo der Rechte Winkel in der Zeichnung liegt.
Gegenüber dem rechten Winkel haben wir die Hypotenuse (die längste Seite eines Dreiecks). Die ist auch unbekannt. 

Die einzige Seite die noch übrig bleibt ist die Ankathete, die ist gemäss deinem Bild 12 cm lang. 


Also fassen wir zusammen:

Ankathete: 12 cm 
Winkel α: 26° 
Gegenkathete: Gesucht

Eselsbrücke holen. 

SCTCt
GAGA
HHAH

Gemäss Eselsbrücke siehst du dass du mithilfe  des T (tangens) das Verhältnis Gegenkathete / Ankathete herausfindest.

tan(α) = GK / AK I α = 26°, AK = 12
tan(26) = GK / 12 I *(12) Auf beiden seiten multiplizieren
12*tan(26) = Gegenkathete
5.85 cm = Gegenkathete 

x (Gegenkathete) = 5.85 cm 


Kannst du das nachvollziehen ?

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Aufgabe c)

Bei C siehst du zum Beispiel, dass die Seite rot markiert ist, welche gegnüber dem Rechten Winkel ist. 

Du siehst weiter dass ein Winkel α von 53° Gegeben ist. 

Und dass eine Seite 4,2 cm lang ist. 

Also die Hypotenuse ist gesucht, der Winkel α 53° gegeben, und eine Seite ist 4,2 cm lange. Welche Seite ist aber nun die 4,2 cm lange Seite ? 

Gegenüber vom Winkel Alpha ist sie nicht, also ist sie nicht die Gegenkathete von Alpha. 
Sie ist auch nicht die Hypotenuse, weil die Hypotenuse gegenüber des Rechtenwinkels ist und wir ja gerade die in unserer Aufgabe suchen. 
Darum wissen wir, Aha! Das ist die Aknathete zu Winkel Alpha. 

Zusammengefasst: 

Winkel α: 53°
Ankathete: 4.2 cm 
Hypothenuse Gesucht. 

SCTCT
GAGA
HHAH

Du hast ja AK und einen Winkel α gegeben und HY suchst du jetzt schaust in der Eselsbrücke nach wo A und wo H vorhanden sind.
Beachte es müssen nicht A und H gegeben sein, sie müssen nur vorkommen denn durch umstellen findest du die Werte heraus und du hast zudem ja noch den Winkel.

cos(α) = AK / HY I α = 53°, AK = 4.2

cos(53°) = 4.2 / HY I Auf beiden Seiten *(HY) 
HY*cos(53) = 4.2    I Auf beiden Seiten :(cos(53))
HY = 4.2 / cos(53)
Hy = 6.98

X (Hypotenuse) = 6.98 cm

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Wenn du dir nicht sicher bist, was du verwenden sollst, habe ich dir oben beschrieben bei Aufgabe c, wie du vorgehst.. 

Du schaust was gesuccht bzw. gegeben ist, benennst die Seiten korrekt, dann hast du zwei Informationen (mehr brauchst du nicht).
Mithilfe der Eselsbrücke "GAGA HühnerHof AG" siehst du die Verhältnise

Sinus	Cosinus	Tangens	Cotangens
Gegenkathete	Ankathete	Gegenkathete	Ankathete
Hypotenuse	Hypotenuse	Ankathete	Gegenkathete

Diese Tabelle kannst du auch so schreiben zb auf ein Blatt papier was du immer bereit hälst.

SCTCt
GAGA
HHAG

Und wenn du siehst was gegeben ist, kannst du entweder den sin, cos, tan oder cot benutzen. 
wir nehmen an du hast einen Winkel α = 20°, GK = 5 cm und suchst die Hypotenuse.

Zusammengefasst

alpha: 20°
GK : 5 cm 
HY : gesucht

Dan nimmst du den Sinus, weil du gemäss Tabelle siehst, dass du dort drin GK, HY vorhanden hast.

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Vielen Dank für deine Hilfe.

Die Aufgaben kann ich jetzt nachvollziehen, die Aufgabenstellung haben mir als Hilfe gedient. Danke

Answer 2

zu a) cos(35°)=x/7 oder x=7·cos(35°).