Welche Werte nimmt f auf dem Intervall an? f(x)=x + (2x-2)/(x+1) Intervall (0,4)

Question

wie gehe ich an solch eine Aufgabe heran? Diesen Typ hatten wir jetzt schon öfters und ich weiß nie, wie ich dabei vorgehen muss. Gibt es ein bestimmtes Schema, das man dabei anwenden kann? Also bei egal welcher Funktion und egal wie der Intervall ist?

Vielleicht kann es mir ja jemand an einem Beispiel deutlich machen:

f(x)=x + (2x-2)/(x+1) Intervall (0,4)

LG

Answer 1

f(x)=x + (2x-2)/(x+1) Intervall (0,4)hilfreich ist immer eine Aussage über das Monotonieverhalten.

Dazu  f ' ( x) =  1 + 4 / (x+1)² 

Das ist in dem Intervall immer positiv, also der Graph von f

streng monoton steigend.

Also ist f(0) = -2  der kleinste und

f(4) = 5,2     der größte Wert.

Also werden alle Werte dazwischen angenommen; denn f ist dort

überall definiert und stetig.

Comments

hey,

wie sehe ich denn an f`(x), dass das monoton steigend ist?

Wie ist es bei der Funktion: f(x)=x+(2-2x)/x+1)  Intervall (0,4).

f(0)= 2

f(4)= 2,8

wenn ich nun aber f(1) einsetze erhalte ich f(1)=1. Also ist f(1) noch niedriger als die unterste Intervallgrenze. Lautet die Antwort dann Wertebereich (1; 2,8).

Uns wurde gesagt, man soll, wenn ein Intervall gegeben ist, einen Wert einsetzen, der irgendwo dazwischen ist. Woher weiß ih wann ich das machen muss?

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hey,

wie sehe ich denn an f`(x), dass das monoton steigend ist?

Es ist     f ' ( x) =  1 + 4 / (x+1)²  

Wenn du das analysierst, siehst du, dass der Nenner 

(x+1)²   wegen des Quadrates jedenfalls nie negativ ist

und im Bereich von 0 bis 4 sogar immer positiv.

Und dann ist  4 durch etwas positives auch

immer positiv und dann  noch + 1  bleibt

jedenfalls positiv.

Und Ableitung immer positiv heißt:

Funktion streng monoton steigend.

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danke für die Erklärung zur Monotonie! :)

Aber könnten wir nochmal auf den zweiten Teil meiner Frage eingehen? :) Also die Werte, die f im Intervall annimmt.

also:

Wie ist es bei der Funktion: f(x)=x+(2-2x)/x+1)  Intervall (0,4).

f(0)= 2

f(4)= 2,8

wenn ich nun aber f(1) einsetze erhalte ich f(1)=1. Also ist f(1) noch niedriger als die unterste Intervallgrenze. Lautet die Antwort dann: Wertebereich (1; 2,8)?

Uns wurde gesagt, man soll, wenn ein Intervall gegeben ist, einen Wert einsetzen, der irgendwo dazwischen ist. Woher weiß ih wann ich das machen muss?

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f(x)=x+(2-2x)/x+1) 

Das ist ja nun eine andere Funktion, die hat die Abl.

f ' (x) =  1  -    4 / ( x+1)²  

Und hier ist also die Ableitung nicht durchgehend

positiv oder durchgehend negativ, sondern zwischendurch = 0

und zwar wenn   0 =   1  -    4 / ( x+1)²   

  4 / ( x+1)²    = 1 

also      ( x+1)²   = 4


    x+1 = 2     oder    x+1 = -2

         x = 1    oder   x = -3 

Im gegebenen Intervall also bei x=1.

Und weil f ' (0) negativ ist, ist es also erst fallend

( bis zu x=1 ) und danach steigend.

Also wird bei x=1 der kleinste Wert erreicht.

Damit lautet die Antwort dann Wertebereich (1; 2,8).

Answer 2

Skizziere die Kurve (verwende dazu Polstellen, Nullstellen, schräge Asymptoten usw. also im Prinzip die Kurvendiskussion)

Meine Skizze:

~plot~ x + (2x-2)/(x+1); x=0; x=4; [[10]];-2;5.2 ~plot~

Im fraglichen Intervall (0,4) steigt der Graph kontinuierlich an.

Es werden Werte zwischen -2 und etwa 5.2 angenommen.

Berechne f(0) = 0 + (2*0-2)/(0+1) = -2 und 

f(4) = 4 + (2*4 - 2)/(4+1) = 4 + 6/5 ) 5.2.

f nimmt die Werte im Intervall (-2, 5.2) an.