Konvergenz von Reihen prüfen. (Summe von 1/(n(n+1))) und (Summe von 1/n) nicht dasselbe?

Question

Hallo

ich habe diese beiden Reihen.

Dass die 1. gegen 1 konvergiert verstehe ich, weil das 1. Folgeglied ist 1 und dann kommen unendlich viele kleine Folgeglieder dazu.

Das ist doch bei der 2. Reihe das gleiche oder? Ich verstehe nicht wieso diese divergiert

Answer 1

ich habe diese beiden Reihen.

Dass die 1. gegen 1 konvergiert verstehe ich, weil das 1. Folgeglied ist 1 und dann kommen unendlich viele kleine Folgeglieder dazu.


Das stimmt nicht ganz. Der erst Summand ist  1 / ( 1 * 2)  = 1/2

Aber du kannst den Term  1 / ( n*(n+1)) auch so schreiben

  1 / ( n*(n+1))  =  1/n  -  1/(n+1)

Dann ist der erste   1 - 1/2  und derzweite   1/2 - 1/3   und der dritte

    1/3 - 1/4   etc.

Wenn du addierst ist das1 -1/2   +1/2  - 1/3   + 1/3  -1/4  ....   und du siehst:

je zwei heben sich gegenseitig auf  die blauen und die grünen etc.und wenn du das immer weiter fortsetzt bleibt nur die erste 1 übrig.

( sog. Teleskopsumme )

Das ist doch bei der 2. Reihe das gleiche oder? Ich verstehe nicht wieso diese divergiert


siehe dazu  https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Divergenz

Answer 2

Hi,

also die Argumentation bei der ersten Aufgabe ist komplett falsch:

1. Der erste Summand ist nicht \( 1 \) sondern \( \frac{1}{2} \)
2. Ob da immer kleinere Terme dazukommen ist nicht relevant wie Du aus der zweiten Aufgabe entnehmen kannst.

Du must die Konvergenz exakt nachweisen. Dazu zerlegst Du in Aufgabe (1.) den Term in
$$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $$ und führst die Summation mal durch, dann siehst Du schon was passiert.

Zur zweiten Aufgabe siehe hier
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Harmonische_Reihe

Answer 3

1. ist eine Teleskopsumme (googlen! / Wikipedia anschauen)

Nur wenn du das erkennst und begründen kannst, warum nach der 1 nichts mehr relevant ist.

2. ist die harmonische Reihe, von der du wissen musst, dass sie divergiert. Die wird oft beim Minorantenkriterium verwendet.