Problem bei linearer Abbildung: Spiegelung an der Geraden x_2 = 2x_1. Matrix bezüglich E

Question

 

bei unten stehender Aufgabe ist es mir ein Rätsel, wie die Matrix EsigmaE zu Stande kommt. Alle anderen Teile sind mir klar. Wenn mir jemand weiterhelfen könnte, wäre das echt spitze.

Jonas

Comments

Hallo Jonas,

was bedeutet die Schreibweise \(B^{\sigma(b_1)}\) genau?

Answer 1

Ich nehme an, dass du das theoretisch auch mit eurer Theorie berechnen kannst.

Hier mal eine geometrische Erklärung.

In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bildvektoren der Standardbasisvektoren.

Die kannst du einzeln ausrechnen mit Schulmathematik.

Berechnen nun S . Schnittpunkt der Geraden durch P(1,0) mit Steigung m= -1/2.

Rechne dann vektoriell:

v = (1,0) + 2 * (PS) 

Dasselbe Verfahren auch mit Q(0,1) anwenden. Dann hast du auch die 2. Spalte der Abbildungsmatrix. 

Answer 2

Hallo Jonas,

Wenn man eine Koordinate aus dem \(B\)-System in das \(E\)-System transfomieren will, so geht dies mit der Matrix, deren Spalten durch die Vektoren der Basis gebildet werden.

$$ ^ET_B= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & -1\end{pmatrix}$$

Das vorgestellte \(E\) ist hier das Bezugssystem und das \(B\) im Index ist das System der zu transformierenden Vektoren. Der Ausdruck \(E^{\sigma}E\) bedeutet doch eine Matrix die eine Koordinate aus dem \(E\)-System an der Geraden \(g\) wieder in das \(E\)-System spiegelt. Da die spiegelnde Matrix \(B^{\sigma}B\) nur im \(B\)-System gegeben ist, muss die Koordinate aus \(E\) erst nach \(B\) transformiert werden, dann gespiegelt werden und anschließend wieder zurück. Es ist also

$$E^{\sigma}E=\left( ^ET_B \right)^{-1} \cdot B^{\sigma}B \cdot ^ET_B\\ = \begin{pmatrix} 1/5 & 2/5\\ 2/5 & -1/5\end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & -1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3/5 & 4/5\\ 4/5 & 3/5\end{pmatrix}$$