Hallo Jonas,
Wenn man eine Koordinate aus dem \(B\)-System in das \(E\)-System transfomieren will, so geht dies mit der Matrix, deren Spalten durch die Vektoren der Basis gebildet werden.
$$ ^ET_B= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & -1\end{pmatrix}$$
Das vorgestellte \(E\) ist hier das Bezugssystem und das \(B\) im Index ist das System der zu transformierenden Vektoren. Der Ausdruck \(E^{\sigma}E\) bedeutet doch eine Matrix die eine Koordinate aus dem \(E\)-System an der Geraden \(g\) wieder in das \(E\)-System spiegelt. Da die spiegelnde Matrix \(B^{\sigma}B\) nur im \(B\)-System gegeben ist, muss die Koordinate aus \(E\) erst nach \(B\) transformiert werden, dann gespiegelt werden und anschließend wieder zurück. Es ist also
$$E^{\sigma}E=\left( ^ET_B \right)^{-1} \cdot B^{\sigma}B \cdot ^ET_B\\ = \begin{pmatrix} 1/5 & 2/5\\ 2/5 & -1/5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & -1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3/5 & 4/5\\ 4/5 & 3/5\end{pmatrix}$$