Zunächst gilt es die Funktion zu bestimmen, die die Gerade durch die Punkte \(B\) und \(C\) beschreibt. Eine Möglichkeit wäre die sogenannte Achsenabschnittsform
$$\frac{y}{60} + \frac{x}{80} = 1$$ umformen und nach \(y\) auflösen
$$y=\frac{-3}{4}x + 60$$
Angenommen die Strecke \(AD\) sei \(x\) dann ist die Fläche \(F\) des rechteckigen Grundstücks
$$F=x \cdot y= x \cdot \left(\frac{-3}{4}x + 60 \right)=\frac{-3}{4}x^2 + 60x$$
Das Extremum bestimmen mit Ableitung nach \(x\) und Nullsetzen
$$F\prime=\frac{-3}{2}x + 60=0 \quad \Rightarrow x=40$$
und \(y\) ist demanch \(=30\) und die Fläche \(F=1200\).
zu 10) a) sollte nicht das Problem sein. Setze die \(x\)-Werte einfach in die gegebene Gleichung ein. Die Fläche \(F\) ist \(F=x \cdot y\) bzw. in diesem Fall:
$$F=x \cdot \left( \frac{-3}{4}x + 3\right) \space\Rightarrow F(3)= 3 \cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{4}=2,25; \\ \space F(2,5)=2,5 \cdot \frac{9}{8}=\frac{45}{16}=2,8125$$
und allgemein gilt für \(x=a\)
$$F(a)=a \cdot \left( \frac{-3}{4}a + 3 \right) = \frac{-3}{4}a^2 + 3a$$
und das Maximum finden geht wie oben
$$F\prime = \frac{-3}{2}x + 3=0 \quad \Rightarrow x= 2$$
\(y\) ist dann \(y=(-3/4)\cdot 2 + 3=\frac{3}{2}\) und die maximale Fläche \(F=2 \cdot \frac{3}{2}=3\).
Gruß Werner
