Funktionenschar: fk (x) = -x^3 + k*x^2 + (k-1)x. Warum 2 Schnittpunkte?

Question

f_k (x) =  -x^3    +       k*x^2     +      (k-1)  x

 

> Zeige dass sich alle Funktionsgraphen in genau zwei punkten schneiden.

 

-> Den ersten sehe ich x₁ = 0     aber wie ist der 2.   ?   

 

Bitte mit Erklärung und Danke für eure Hilfe !

Answer 1

2 solche Kurven brauchen 2 verschiedene Parameter. 

Schnittstellen berechnen: Beide gleichsetzen:

-x³    +       k*x²     +      (k-1)  x =  -x³    +       m*x²     +      (m-1)  x              

                  |alles nach links nehmen

(k-m)x^2 + (k-1 -(m-1))x = 0

                   |vereinfachen

(k-m)x^2 + (k-m)x = 0

                 |faktorisieren

x(k-m)(x+1) = 0

x1 = 0

x2 = -1

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