Koordinatenmatrix und Übergangsmatrix

Question

ich sitze gerade vor einer Altklausur der Linearen Algebra und bin auf folgende Aufgabe gestoßen: 

Es seien K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f ein Automorphismus von V. Weiter sei B=(b1,...bn) eine Basis von V und A (eine nxn Matrix mit Elementen aus K) die Koordinatenmatrix von f bezüglich B.

a) Zeigen Sie, dass C= (f(b1),...,f(bn)) auch eine Basis von V ist.

Diese Aufgabe habe ich soweit gelöst.

b) Zeigen Sie, dass die Übergangsmatrix von der Basis B in die Basis C genau die Matrix A ist.

c) Zeigen Sie, dass die Koordinationmatrix von f bezüglich der Basis C ebenfalls durch die Matrix A gegeben ist.

Bei Aufgabenteil b und c stehe ich vollkommen auf dem Schlauch. Ich muss aber auch zugeben, dass mir der Begriff Koordinatenmatrix nicht sehr geläufig ist und habe dementsprechend nicht mal eine Idee, wie ich dies lösen könnte und habe online auch wenig dazu gefunden. Oder ist dies das gleiche wie Darstellungsmatrizen, diese haben wir bisher aber nur bezüglich zweier Basen kennengelernt?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.

Ps: Die Zahlen 1,...,n sollen natürlich jeweils im Index von b stehen.

Answer 1

So, wie die Dinge definiert sind, gilt \(K_B(v)=K_C(f(v))\). Koordinatenmatrix soll heissen \(A=M_{B,B}(f)\), also \(K_B(f(v))=AK_B(v)\). Beides zusammen gibt \(K_B(f(v))=AK_C(f(v))\), also, da \(f\) bijektiv ist, \(K_B(\overline {v})=AK_C(\overline{v})\) für alle \(\overline{v}\in V\), und mit \(A\) wechsle ich von \(C\) nach \(B\). Das ist genau andersrum wie von Dir geschrieben. Finde raus, wo der Fehler liegt.