Konvergenzverhalten von (sin(x) + 2x)/(cos(x) + 2x)

Question

Ich möchte die Konvergenz untersuchen von

$$ \lim_{x \to \infty}\frac{sin(x) + 2x}{cos(x) + 2x} = \lim_{x \to \infty}\frac{cos(x) + 2}{-sin(x) + 2}$$.

Geht es über die Häufungspunkte? Kann ich also zwei Teilfolgen finden die jeweils Hoch- und Tiefpunkte der Folge einnehmen? Wenn ich dann zeigen kann, dass diese beiden Teilfolgen gegen zwei unterschiedliche Werte konvergieren folgt daraus, dass die Folge nicht konvergiert.

Wie finde ich solche Teilfolgen?

Ich bin auch an einfacheren Lösungsansätzen interessiert.

Comments

du darfst hier de Regel von de l'Hospital nicht anwenden, denn für f(x)=sin x + 2x und g(x) = cos x + 2x ist der Quotient f'(x)/g'(x) für x->∞ divergent (Die Gleichheit gilt deswegen nicht). Denn Rest hat dir mathef schon in seiner Antwort gezeigt.

Gruß

Answer 1

( sin(x) + 2x )   /  ( cos (x) + 2x ) 


=   ( sin(x) / x   +   2   )   /   (  cos(x) / x     + 2  ) 


sin(x) / x    und   sin(x) / x    gehen beide gegen 0 , da Zähler beschränkt und Nenner

gegen  unendlich geht.


Also Grenzwert  2 / 2   =   1.


Das zweite ist nicht konvergent, denn für alle  n aus IN und x = 2*n*pi ist   es = 3/2

und für alle   (2n+1) pi ist es 1/2 .

Comments

Danke, ich habe durch deine Antwort auch noch gelernt, dass L'Hospital nur verwendet werden kann wenn f'(x)/g'(x) auch einen Grezwert besitzt.