Question

a_(n) = sin (πn/4) + 1/n. Häufungspunkte bestimmen

ich komm einfach nicht weiter bei der a, die b hab ich schon:

Der hintere Teil ist ja egal, weil der gegen 0 geht, aber leider komm ich bei dem Rest nicht weiter

Answer 1

Hallo like,

                           A                                 B

              sin( π/4 * n) + 1/n                 iⁿ   

n                      Wert                           Wert

1             1/2 * √2    +    1                     i

2                  1           +  1/2                  -1

3             1/2 * √2     +  1/3                  - i

4                   0           +  1/4                  1

5            - 1/2 * √2    +  1/5                  i

6                 -1            +  1/6                 -1

7            - 1/2 * √2     +  1/7               .- i

8                   0            +  1/8                 1

9              1/2 * √2     +  1/9                 - i

10                 1           +  1/10               ...

....

A)

Wegen der Periodizität von sin (Periode 2π) und weil alle Argumente im Sinusterm Vielfache von π/4 sind setzt sich die Wiederholung der Sinuswerte fort und der 2. Term → 0  für n gegen unendlich.

Die Häufungspunkte sind deshalb   0 , ±1 , ± 1/2 * √2   , weil in jeder Umgebung dieser Zahlen unendlich viele Folgenglieder liegen

→   lim_inf  =  -1  ;   lim_sup =  1     (in ℝ = kleinster bzw. größter Häufungspunkt)

B)

hier wiederholen sich die genannten komplexen Zahlen immer wieder in der gleichen Reihenfolge

Die Häufungspunkte sind deshalb   ±1 , ± i   

Leider weiß ich im Moment nicht, wie in ℂ  lim_sup  und   lim_inf  definiert sind. 

Hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Limes_superior_und_Limes_inferior

kann ich diesbzgl. im Moment auch nichts "Griffiges" extrahieren. 

Gruß Wolfgang

Comments

Bei der a)

Ist nicht 1 geößer als 0,5 *Wurzel 2?

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Da hast du natürlich recht, da habe ich gepennt (soll auf der Nachtschicht vorkommen :-))

Werde es in der Antwort korrigieren.