Finde eine Folge, die alle 1/n als Häufungspunkte hat

Question

Text erkannt:

Finde eine Folge, die alle Elemente der Menge \( M=\left\{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \) als Häufungspunkte hat. Gibt es eine Folge, deren Häufungspunkte genau die Elemente von \( M \) (aber keine weiteren Zahlen) sind?

Aufgabe:

Comments

Gibt es eine Folge, deren Häufungspunkte genau die Elemente von \( M \) (aber keine weiteren Zahlen) sind?

Auf den ersten Blick würde ich sagen, dass jede Folge, die die
Elemente aus M zu Häufungspunkten hat, auch notwendig 0
als Häufungspunkt hat. Es gibt also keine solche Folge.
Ich würde also versuchen zu beweisen, dass 0 ein Häufungspunkt ist.

Answer 1

Die Zahlen 1/n sind Häufungspunkte der Menge \(\mathbb{Q}\),

wie sich z.B. mit Hilfe der Dichtigkeit leicht zeigen lässt.

Da \(\mathbb{Q}\) abzählbar ist, gibt es eine Folge \((x_k)\) rationaler

Zahlen, die alle rationalen Zahlen annimmt,

d.h. zu jedem \(q\in \mathbb{Q}\) gibt es eine nat. Zahl

\(k\), so dass \(x_k=q\) ist.

Daher ist jede rationale Zahl ein Häufungswert von \((x_k)\).

Damit sind insbesondere alle \(1/n\) Häufungswerte von

\((x_k)\), q.e.d.

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a1 = 1+1
a2 = 1+1/2	a3 = 1/2 + 1/2
a4 = 1 + 1/3	a5 = 1/2 + 1/3	a6 = 1/3 + 1/3
a7 = 1 + 1/4	a8 = 1/2 + 1/4	a9 = 1/3 + 1/4	a10 = 1/4 + 1/4
a11 = 1 + 1/5	a12 = 1/2 + 1/5	a13 = 1/3 + 1/5	a14 = 1/4 + 1/5	a15 = 1/5 + 1/5
a16 = 1 + 1/6	a17 = 1/2 + 1/6	a18 = 1/3 + 1/6	a19 = 1/4 + 1/6	a20 = 1/5 + 1/6	a21 =

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Sehr schöne konkrete Folge !