Häufungspunkte einer Folge bestimmen

Question

Text erkannt:

Gegeben sei die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{1}=1 \) und \( a_{n+1}=\frac{25 a_{n}}{a_{n}+5} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

Kann mir jemand sagen, was hier die Häufungspunkte sein würden, bzw. wie ich diese bestimmen könnte.

Answer 1

Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, ist das der einzige Häufungspunkt.

Diese hat den Grenzwert 20.

Zeige (etwa mit Induktion) alle a_n<20

und Folge ist monoton steigend,

also konvergent. Bestimme Grenzwert g durch

den Ansatz \( g=\frac{25g}{g+5} \).