Was ist mit geschlossenem Funktionsausdruck gemeint, und wie würde man den hier berechnen?

Question

Text erkannt:

(a) Finden Sie einen geschlossenen Funktionsausdruck für die Potenzreihe \( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(-3 x)^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \).

Comments

Schau dir mal die Taylorreihen der trigonometrischen Funktionen an !

... und dann noch eine einfache Substitution ... und schwupps !

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Ich versuche es mal, aber bin echt komplett lost auf dem Gebiet momentan

Answer 1

Bedenke, dass die sin-Funktion definiert ist durch

(siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Motivation_durch_Taylorreihen )

\( sin(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \)

und das vergleichen mit

\( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(-3 x)^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \)

zeigt f(x)=sin(-3x). Das ist der gesuchte Ausdruck.