Profil einer Skisprungschanze. Was ist bei hier mit nährungsweise gemeint?

Question

Aufgabe:

Siehe Bild. 6 b)

Version von 2017 mit Druckfehler: Daher Antworten von 2017 nicht unbedingt passend. 

Das Profil einer Skisprungschanze soll dargestellt werden durch die Funktion h(x)=0,003(x-150)² +4,5, wobei x und h(x) in m angegeben werden. x ist definiert zwischen 0 und 140. Bestimme näherungsweise die Steigung der Schanze beim Start sowie bei x=0. (Laut dem dazugehörigen Graphen liegt der Start bei h(x)=70)

Die Formel dazu kenne ich ja schon, aber wie soll ich die Funktion mit einbringen?


Problem/Ansatz:

Kann  mir jemand erklären was in dieser Aufgabe erwartet wird? Und falls möglich bitte mit Rechenweg vorrechnen.

Text erkannt:

Berechnen Sie die Steigung von \( f \) an der Stelle \( x_{0} \) mithilfe der h-Meth
\( \mathbb{F} \)
a) \( f(x)=3 x^{2} ; x_{0}=2 \)
b) \( f(x)=x^{2}-2 x ; x_{0}= \)
\( \begin{array}{|l|c|c|}\hline M-G K & {\text { Übungsaufgaben für die } 2 . \text { Klausur }} \\ \hline E F & {\text { Mathematik }} \\ \hline\end{array} \)
Aufgabe 6
Das Profil einer Skisprungschanze soll dargestellt
werden durch die Funktion h mit
\( h(x)=0,003(x-150)^{2}+4,5, \) wobei \( x \) und \( \quad-60 \)
\( h(x) \) in Metern angegeben werden. \( x \) ist definiert zwischen 0 und 140.
a) Bestimmen Sie in welcher Höhe sich ein \( -20 f \) Skispringer bei \( x=100 \) befindet.
b) Bestimmen Sie näherungsweise die
\( \begin{array}{c|cc}{0} & {20} & {-40} \\ \hline\end{array} \)
Steigung der Schanze beim Start sowie
bei \( x=70 \)
Aufgabe 7:

Answer 1

@ Fehlerhafte Frageversion Dezember 2017

Die Formel dazu kenne ich ja schon,
Ich weiß nicht nach welchem Verfahren du
näherungsweise berechnen willst / kannst / sollst.

Differenzenquotient
1/2 m vor null und 1/2 m nach null ergibt
näherungsweise die Steigung
m = ( h ( -0.5 ) - h ( 0.5 ) / ( -0.5 - 0.5 )

Comments

 >  Differenzenquotient         1/2 m vor null und 1/2 m nach null ergibt 

Man kann so natürlich einen Näherungswert für die Steigung von h bei x=0 ausrechnen, aber: 

Mit dem definierten Begriff  "Differenzenquotient " sollte man wohl bei den Fragestellern keine Verwirrung verursachen. 

Hier:  DQ_x=0   =  ( h(0 + Δx) - h(0) ) / Δx 

Answer 2

@ Fehlerhafte Frageversion Dezember 2017

Hallo JC,

h(x) = 0,003 · (x - 150)² + 4,5

 

> Bestimme näherungsweise die Steigung der Schanze beim Start sowie bei x=0. (Laut dem dazugehörigen Graphen liegt der Start bei h(x) = 70)

Wenn du den Begriff Ableitung f ' einer Funktion f noch nicht kennst,  musst die die Steigung von h an einer Stelle x tatsächlich "näherungsweise" mit dem Differenzenquotienten ausrechnen (vgl. unten nach ------------ ) 

Ansonsten gibt

h'(x) die Steigung der Schanze an der Stelle x an ( = momentane Änderungsrate)

h'(x)  = 0,006·(x - 150)   

Steigung für x = 0

h'(0) = - 0,9     

Start:   

Wenn der Start wirklich bei h(x) = 70 liegt, ergibt sich für den zugehörigen x-Wert:

70 = 0,003 · (x-150)² + 4,5  

nach x auflösen ergibt 

(x -150)² = (70 - 4,5) / 0,003  ≈  21833   |  √  

x - 150  ≈ ±  147,76  | + 150  

  x₁  ≈ 297,76   ;   x₂  ≈  2,24  

Da die Steigung beim Start  wohl negativ sein muss, ergibt sich

h'(2,24)  ≈ - 0,887

------------------

Wenn man die Steigung von h an einer Stelle x  mit dem Differenzenquotienten                     ( h(x+Δx) - h(x) ) / Δx  näherungsweise ausrechnen will, wählt man für Δx  einen kleinen Wert, damit die Näherung nicht zu ungenau wird, z.B.  Δx = 0,01

Steigung an der Stelle x = 0   ≈  ( h(0,01) - h(0) ) / 0,01 =  ( 71.991 - 72) / 0.01  =  - 0,9

x = 2,24  für den Start ergibt sich wie oben:  

 Steigung an der Stelle x = 2,24  ≈  ( h(2.24 + 0.01) - h(2.24) ) / 0,01  ≈  - 0.887   

Gruß Wolfgang

Answer 3

@Frageversion Dezember 2019

Mit " näherungsweise " kann ich auch nichts anfangen
Zur Kontrolle
h ( x ) = 0.003 * ( x - 150)^2 + 4.5
h ´( x ) = 0.006*x - 0.9
h  ´( 0 ) = -0.9
h ´( 70 ) = -0.48
Oder habt ihr noch keine Ableitung über die
Differntialrechnung gehabt ?
Die h-Methode wäre etwas umfangreicher.

Comments

Wie wendet man denn darauf die h methode an?

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f ( x ) = 0.003 * ( x - 150)^2 + 4.5
bei x = 70
f ( 70 )
und f ( 70 + h)
h = 0.1

allgemein
Steigung =  Δ y / Δ x = [ f ( x + h ) - f ( x ) ] / ( x + h - x )
m = 
[  0.003 * ( x + h - 150)^2 + 4.5 - ( 0.003 * ( x + h - 150)^2 + 4.5 ) / h
bei x = 70 und h = 0.1
[  0.003 * ( 70 + 0.1 - 150)^2 + 4.5 - ( 0.003 * ( 70  - 150)^2 + 4.5 ) ] / 0.1

m = -0.4797

Dies ist mit deutlich mehr Arbeit verbunden
als über die 1.Ableitung . ( siehe oben )

Da ICH faul bin und in der Frage steht
" näherungsweise " würde ich auch eine
zeichnerische Lösung durchführen.
Zeichne die Tangente " näherungsweise " bei
x = 70 ein. Zeichne das Steigungsdreieck der
Tangente ein, lies delta y und delta x aus der
Zeichung ab und teile dann m = delta y / delta x.

---

Habe beim Ursprung also 0 bei der tanhentensteigung 0,9 raus...

---

Fast. siehe meine Antwort oben.
h  ´( 0 ) =  minus 0.9

Answer 4

@Frageversion Dezember 2019

Ich würde bei "näherungsweise" (wenn nichts anderes abgemacht ist) mit dem vorhandenen Graphen arbeiten:

Mit dem Lineal Tangente an der richtigen Stelle anlegen und dann ein möglichst grosses Steigungsdreieck einzeichnen und Steigung =  Höhendifferenz / Horizontaldistanz ausrechnen.

Nicht vergessen, dass beim Resultat wahrscheinlich ein Minus vorne hin muss, weil es bei der Schanze ja (fast) überall nach unten geht.