Skisprungschanze: Wie finde ich die Nullstelle der Funktion f_{-0,5}?

Question

Aufgabe Skisprungschanze:

Gegeben ist die Funktionsschar f_a(x)=a(x+1)+\( \frac{1}{3} \)*\( \sqrt{x^2+1} \) ; a∈ℝ

a) Wo liegt die einzige Nullstelle von f_-0,5?

    Für welchen Wert von a ist der Graph von f_a achsensymmetrisch zur y-Achse?

b) Sei a>0. f_a besitzt Extrema nur für den Fall a₁ < a < a₂ . Bestimmen Sie a₁ und a₂ . Auf die hinreichende Bedingung für die Existenz der Extrema kann verzichtet werden.

zur Kontrolle: f`_a (x)=a+\( \frac{1}{3} \)*\( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \)

Problem/Ansatz:

Mit diesen zwei Aufgaben komme ich nicht wirklich klar. Bei der Nullstelle ist es logisch, dass ich die Funktion gleich Null setzen muss. Wenn ich das dann aber umforme komme ich auf zwei Nullstellen (aufgrund der PQ-Formel).

Beim zweiten Teil der Aufgabe habe ich f_a(x)=f_a(-x) gleich gesetzt. Dann habe ich aber keine Ahnung wie ich jetzt auf den richtigen Wert von a komme.

Und bei Aufgabe b) habe ich erst gar keinen Ansatz. Auch aus dem Grund weil ich nicht weiß wie ich die Funktion ableiten soll (die Ableitung oben war bereits gegeben).

Wenn mir jemand bei dieser Aufgabe Helfen könnte würde ich mich sehr freuen.

Felix

Comments

Zu a)

f_{-0,5} 

Fehlt hier vielleicht der Ableitungsstrich?

Soll die Schanzenhöhe 0 sein?

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Wenn du zwei Lösungen bekommst, mache die Probe. Dann wirst du feststellen, dass nur einer der beiden Werte die Gleichung erfüllt.

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Nein, laut der Aufgabe fehlt nichts!

Und ob die Schanzenhöhe Null sein soll kann ich dir nicht sagen. Davon steht auch nichts in der Aufgabe.

Answer 1

Wenn ich das dann aber umforme komme ich auf zwei Nullstellen

-9/5 - √(56/25) ist keine Lösung der Gleichung.

Für welchen Wert von a ist der Graph von f_a achsensymmetrisch zur y-Achse?

Der Summand 1/3*√(x²+1) ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Damit f_a achsensymmetrisch zur y-Achse ist, muss der Summand a(x+1) ebenfalls achsensymmetrisch zur y-Achse sein. Das ist nur für a = 0 der Fall.

wie ich die Funktion ableiten soll

In Potenzen umschreiben: √(x²+1) = (x²+1)^1/2. Dann mit der Kettenregel

        f(x) = g(h(x)) ⇒ f'(x) = g'(h(x))·h'(x)

ableiten.

Comments

Vielen Dank!

Ich habe jetzt zumindest den ersten Teil der Aufgabe. Aber ich verstehe b) noch nicht so ganz. Was genau muss ich da machen.

Muss ich die erste Ableitung gleich Null setzten und dann einfach nur die Extrema ausrechen?

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Einfach nur die Extrema ausrechnen reicht nicht. Schließlich ist ja nicht danach gefargt, wo die Extrema liegen.

Trotzdem ist das ein guter Anfang.

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Im Bild ist mein Ansatz zu finden. Leider weiß ich ab der letzten Zeile nicht weiter. Wie muss ich das umformen und was für eine Lösung wird von mir erwartet?

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Du musst schon nach x auflösen. D.h. x darf nicht mehr auf der rechten Seite stehen. Ich habe dir mal eine Kontroll-Lösung gemacht.

Answer 2

Ich mache hier nochmal eine Kontroll-Lösung:

Comments

Danke für die Kontrolllösung! Die Nullstelle habe ich bereits richtig errechnet.

Ich habe aber noch große Probleme den zweiten Teil deiner Lösung zu verstehen.

Deine in der Lösung befindliche Ableitung weicht auch von meiner Ableitung ab. Die Ableitung die ich zum rechnen benutzt habe stand schon zur Kontrolle in der eigentlichen Aufgabe, also gehe ich davon aus das diese stimmt.

Auf Grundlage meiner Ableitung kam ich auf ein anderes A:

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In der vierten Zeile von unten teilst du durch x^2. Das darfst du aber nicht, da du rechts eine Summe hast.

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Ja. Die Ableitung in der Aufgabe stimmt auch. Ich habe sie bereits auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, sodass man nur den Zähler Null setzen muss.

Deine letzte Zeile

0 = a*3*√(x^2 + 1) + x

Das ist ja genau mein Zähler in der Ableitung auf dem gemeinsamen Bruch.

Das sollst du nun nach x auflösen.

x = -3·a·√(x^2 + 1) <-- Bemerke x muss offensichtlich negativ sein !!

Beide Seiten quadrieren

x^2 = 9·a^2·(x^2 + 1)

x^2 = 9·a^2·x^2 + 9·a^2

x^2 - 9·a^2·x^2 = 9·a^2

(1 - 9·a^2)·x^2 = 9·a^2

x^2 = 9·a^2 / (1 - 9·a^2)

x^2 = 9·a^2 / (1 - 9·a^2)

x = ±3·a / √(1 - 9·a^2)

Das ist genau das was ich habe. Da x offensichtlich negativ sein musste kann ich den positiven Teil der Lösung weglassen

x = -3·a / √(1 - 9·a^2)

So verstanden?

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Jetzt sehe ich es auch, aber wie löse ich das sonst auf?

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Jetzt sehe ich es auch, aber wie löse ich das sonst auf?

Was meinst du? So wie ich es vorgemacht habe löst du es auf.

Wenn du zweimal x^2 in der Gleichung hast fasst man das auf einer Seite zusammen und klammert aus. Das ist der typische Lösungsweg für solche Gleichungen.

Wie machst du das bei

7·x = a·x + 1

Wie löst du diese Gleichung nach x auf?

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Das war auf die andere Antwort bezogen und hat sich dank deinem Beitrag erledigt!

Ich hätte aber dennoch eine Frage. Und zwar muss a echt größer als 0 sein. in Deiner Lösung kann a1 auch 0 annehmen. Stimmt das so trotzdem oder wie ist das?

Ps: Und das x negativ sein muss sehe ich, da -3 bei diesem Term steht oder?

x = -3·a·√(x2 + 1)

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Ich hätte aber dennoch eine Frage. Und zwar muss a echt größer als 0 sein. in Deiner Lösung kann a1 auch 0 annehmen. Stimmt das so trotzdem oder wie ist das?

Du hast recht. Das ist mein Fehler.

0 < a < 1/3 und damit ist a1 = 0 und a2 = 1/3

Ps: Und das x negativ sein muss sehe ich da -3 bei diesem Therm steht oder?

Richtig. a war ja größer als null und dir wurzel ist auch > 0. Und damit ist das Produkt immer negativ.

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Also darf a nicht kleiner als null sein? Aber bei a=-0,2 gibt es extremum.

~plot~-0,2(x+1)+1/3*sqrt(x^2+1)~plot~

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Ja. Aber in der Aufgabe sollte ausgeschlossen sein, dass a <= 0 ist. Warum auch immer.

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Aso stimmt. Sorry hab nur die Antworten gelesen und mir die Frage nicht richtig angeguckt.

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Du hast recht. Das ist mein Fehler.

0 < a < 1/3 und damit ist a1 = 0 und a2 = 1/3

Aber a Darf doch nicht 0 sein...

Das verstehe ich jetzt auch wieder nicht so ganz.

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In der Aufgaben Stellung steht ja man soll a1 und a2 so bestimmen dass gilt a1 < a < a2. Damit sind a1 und a2 selber ausgeschlossen.

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Die Ungleichung lautete

a1 < a < a2 !!!

Damit liegt a zwischen a1 und a2, kann aber nicht die Werte von a1 bzw. a2 annehmen. Das ist also völlig richtig so.

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Ach so jetzt hab ich es. a2 muss im Grunde größer als Null sein und a1 darf auch Null annehmen, da ja nur für a die Festlegung größer als null gilt.

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Es gilt

a1 < a < a2

und wir hatten doch

0 < a < 1/3

Siehst du nicht was du für a1 und a2 einsetzen musst, damit du die untere Bedingung bekommst?

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Doch jetzt habe ich es verstanden denke ich.

0 > a war ja gegeben und deshalb ist es schon mal 0 < a und das 1/3 haben wir ausgerechnet und deshalb ist es 0 < a < 1/3

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In etwa so kann ich das also aufschreiben oder hat sich noch ein Fehler eingeschlichen?